Giải SBT Toán 9 Cánh Diều Bài 3. Tiếp tuyến của đường tròn

a) Xét ∆OBC có OB = OC nên ∆OBC cân tại O, suy ra đường cao OH của tam giác cũng đồng thời là đường phân giác của góc BOC, do đó $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}.$

Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AB ⊥ OB hay $\widehat{ABO}=90°$

Xét ∆OAC và ∆OAB có:

OC = OB, $\widehat{O_1}=\widehat{O_2},$  cạnh OA chung

Do đó ∆OAC = ∆OAB (c.g.c).

Suy ra $\widehat{OCA}=\widehat{OBA}=90°$  hay AC vuông góc với OC tại C thuộc đường tròn (O).

Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Xét ∆OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có: OA² = AB² + OB²

Suy ra $AB=\sqrt{O{A}^2-O{B}^2}=\sqrt{{25}^2-{15}^2}=\sqrt{400}=20 \text{\hspace{0.17em}cm.}$

Xét ∆OBH và ∆OAB có: $\widehat{OHB}=\widehat{OBA}=90°$ và $\widehat{O}$  là góc chung

Do đó ∆OBH ᔕ ∆OAB (g.g)

Suy ra $\frac{BH}{AB}=\frac{OB}{OA}$  nên $BH=\frac{AB\cdot OB}{OA}=\frac{20\cdot 15}{25}=12 \text{cm}.$

Do ∆OBC cân tại O, suy ra đường cao OH của tam giác cũng đồng thời là đường trung tuyến hay H là trung điểm của BC, nên BC = 2BH = 2.12 = 24 cm.

Do ∆OAC = ∆OAB (chứng minh ở câu a) nên AC = AB = 20 cm.

Vậy tam giác ABC có AB = AC = 20 cm và BC = 24 cm.

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, khi đó $MB=MC=\frac{1}{2}BC.\left(1\right)$

Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác, hay OC ⊥ AB tại I.

Ta có ∆BIC vuông tại I có IM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên $IM=\frac{1}{2}BC.\left(2\right)$

Ta có ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên $DM=\frac{1}{2}BC.\left(3\right)$

Từ (1), (2) và (3), suy ra $IM=DM=CM=BM=\frac{BC}{2}.$

Do đó bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

b) Đường tròn (C) có hai tiếp tuyến BI, BD cắt nhau tại B nên CB là tia phân giác của góc ICD, hay $\widehat{BCI}=\widehat{BCD}.$

Mặt khác, ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$  hay  $\widehat{OBC}=\widehat{BCI}.$

Suy ra $\widehat{OBC}=\widehat{BCD},$  mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // CD.

Lại có BD ⊥ CD nên BD ⊥ OB tại B, mà B nằm trên đường tròn (O)

Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

a) Ta có C nằm trên đường tròn (O) đường kính AB nên $OC=\frac{1}{2}AB$

Xét ∆ABC có CO là trung tuyến ứng với cạnh AB và $OC=\frac{1}{2}AB$  nên tam giác ABC vuông tại C, hay $\widehat{ACB}=90°$

Ta có ∆OAC cân tại O (do OA = OC = R) nên $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}=30°$

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{OCA}+\widehat{OCB}$  nên $\widehat{OCB}=\widehat{ACB}-\widehat{OCA}=90°-30°=60°$

Xét ∆OBC cân tại O (do OB = OC = R) có $\widehat{OCB}=60°$  nên ∆OBC là tam giác đều

Suy ra CB = OB.

Mà B là trung điểm của OM nên $OB=\frac{OM}{2}$  suy ra $CB=\frac{OM}{2}$

Xét ∆COM có CB là trung tuyến ứng với cạnh OM và $CB=\frac{OM}{2}$  nên tam giác COM vuông tại C, hay MC ⊥ OC tại C nằm trên đường tròn (O; R).

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có B là trung điểm của OM nên OM = 2OB = 2R.

Xét ∆COM vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có: OM² = OC² + MC²

Suy ra $MC=\sqrt{O{M}^2-O{C}^2} =\sqrt{{\left(2R\right)}^2-R^2} =\sqrt{3R^2} =R\sqrt{3}$