Câu hỏi:

27/07/2024 400

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho CAB^=30°  Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OM. Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O);

b) MC=R3

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Ta có C nằm trên đường tròn (O) đường kính AB nên OC=12AB

Xét ∆ABC có CO là trung tuyến ứng với cạnh AB và OC=12AB  nên tam giác ABC vuông tại C, hay ACB^=90°

Ta có ∆OAC cân tại O (do OA = OC = R) nên OCA^=OAC^=30°

ACB^=OCA^+OCB^  nên OCB^=ACB^-OCA^=90°-30°=60°

Xét OBC cân tại O (do OB = OC = R) có OCB^=60°  nên OBC là tam giác đều

Suy ra CB = OB.

Mà B là trung điểm của OM nên OB=OM2  suy ra CB=OM2

Xét ∆COM có CB là trung tuyến ứng với cạnh OM và CB=OM2  nên tam giác COM vuông tại C, hay MC OC tại C nằm trên đường tròn (O; R).

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có B là trung điểm của OM nên OM = 2OB = 2R.

Xét ∆COM vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có: OM2 = OC2 + MC2

Suy ra MC=OM2-OC2 =(2R)2-R2 =3R2 =R3

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Do Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB nên Ax AB, By AB, suy ra Ax // By.

Đường tròn (O) có:

hai tiếp tuyến Ax, CD cắt nhau tại C nên CA = CM;

hai tiếp tuyến By, CD cắt nhau tại D nên DB = DM.

Xét ∆ANC có AC // BD nên NAND=CADB  (hệ quả định lí Thalès) suy ra NAND=CMDM

Do đó MN // AC (định lí Thalès đảo) hay MN // Ax

Mà Ax AB nên MN AB.

b) Xét ∆ACD có MN // AC nên MNAC=DNDA  (hệ quả của định lí Thalès).

Xét ∆ANC có AC // BD nên DNNA=BNNC  (hệ quả của định lí Thalès).

Suy ra DNDN+NA=BNBN+NC  (tính chất tỉ lệ thức) hay DNDA=BNBC

Xét ∆ABC có NH // AC nên BNBC=NHAC  (hệ quả của định lí Thalès).

Do đó, ta có: MNAC=DNDA=BNBC=NHAC

Vậy MN = NH.

Lời giải

Media VietJack

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, khi đó MB=MC=12BC.   1

Xét ∆OAB có OA = OB nên OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác, hay OC AB tại I.

Ta có ∆BIC vuông tại I có IM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên IM=12BC.   2

Ta có ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên DM=12BC.   3

Từ (1), (2) và (3), suy ra IM=DM=CM=BM=BC2.

Do đó bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

b) Đường tròn (C) có hai tiếp tuyến BI, BD cắt nhau tại B nên CB là tia phân giác của góc ICD, hay BCI^=BCD^.

Mặt khác, ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên OBC^=OCB^  hay  OBC^=BCI^.

Suy ra OBC^=BCD^,  mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // CD.

Lại có BD CD nên BD OB tại B, mà B nằm trên đường tròn (O)

Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay