Câu hỏi:

29/07/2024 4,463

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

a) DME^=90°

b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’);

c) MD.MB = ME.MC.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

 

Media VietJack

a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a OD.

Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a O’E.

Suy ra OD // O’E nên BOD^=AO'E^   (hai góc đồng vị). (1)

Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R) nên OBD^=ODB^

OBD^+ODB^+BOD^=180°  nên ODB^=OBD^=180°-BOD^2  (2)

Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có O'AE^=O'EA^=180°-AO'E^2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  OBD^=O'EA^ (4)

Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên O'CE^=O'EC^ (5)

 O'EA^+O'EC^=AEC^=90°

Từ (4), (5) và (6) suy ra OBD^+O'CE^=90°  hay CBM^+BCM^=90°

Ta lại có CBM^+BMC^+BCM^=180°  (tổng ba góc của tam giác BCM)

Do đó BMC^=180°-(CBM^+BCM^)=180°-90°=90°  hay DME^=90°

b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra DO=12AB  nên ∆ABD vuông tại D, hay AD BM.

Tương tự, ta cũng chứng minh được DE CM.

Xét tứ giác ADME có DME^=ADM^=AEM^=90°  nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên IA=IM=12AM=12DE=ID=IE

Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung

Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).

Suy ra OAI^=ODI^=90°  hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).

Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).

c) Ta có MED^+AED^=AEM^=90°  O'EA^+AED^=O'ED^=90°  nên O'EA^=MED^

Lại có OBD^=O'EA^  (chứng minh ở câu a) nên OBD^=MED^  hay MBC^=MED^

Xét ∆BCM và ∆EDM có: BMC^  là góc chung vàMBC^=MED^

Do ∆BCM ∆EDM (g.g) nên  MBME=MCMD

Suy ra MD . MB = ME . MC.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Do Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB nên Ax AB, By AB, suy ra Ax // By.

Đường tròn (O) có:

hai tiếp tuyến Ax, CD cắt nhau tại C nên CA = CM;

hai tiếp tuyến By, CD cắt nhau tại D nên DB = DM.

Xét ∆ANC có AC // BD nên NAND=CADB  (hệ quả định lí Thalès) suy ra NAND=CMDM

Do đó MN // AC (định lí Thalès đảo) hay MN // Ax

Mà Ax AB nên MN AB.

b) Xét ∆ACD có MN // AC nên MNAC=DNDA  (hệ quả của định lí Thalès).

Xét ∆ANC có AC // BD nên DNNA=BNNC  (hệ quả của định lí Thalès).

Suy ra DNDN+NA=BNBN+NC  (tính chất tỉ lệ thức) hay DNDA=BNBC

Xét ∆ABC có NH // AC nên BNBC=NHAC  (hệ quả của định lí Thalès).

Do đó, ta có: MNAC=DNDA=BNBC=NHAC

Vậy MN = NH.

Lời giải

Media VietJack

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, khi đó MB=MC=12BC.   1

Xét ∆OAB có OA = OB nên OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác, hay OC AB tại I.

Ta có ∆BIC vuông tại I có IM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên IM=12BC.   2

Ta có ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên DM=12BC.   3

Từ (1), (2) và (3), suy ra IM=DM=CM=BM=BC2.

Do đó bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

b) Đường tròn (C) có hai tiếp tuyến BI, BD cắt nhau tại B nên CB là tia phân giác của góc ICD, hay BCI^=BCD^.

Mặt khác, ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên OBC^=OCB^  hay  OBC^=BCI^.

Suy ra OBC^=BCD^,  mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // CD.

Lại có BD CD nên BD OB tại B, mà B nằm trên đường tròn (O)

Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).