Câu hỏi:
29/07/2024 483Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
a)
b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a ⊥ OD.
Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a ⊥ O’E.
Suy ra OD // O’E nên (hai góc đồng vị). (1)
Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R) nên
Mà nên (2)
Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra (4)
Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên (5)
Mà
Từ (4), (5) và (6) suy ra hay
Ta lại có (tổng ba góc của tam giác BCM)
Do đó hay
b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra nên ∆ABD vuông tại D, hay AD ⊥ BM.
Tương tự, ta cũng chứng minh được DE ⊥ CM.
Xét tứ giác ADME có nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.
Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên
Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung
Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).
Suy ra hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).
Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).
c) Ta có và nên
Lại có (chứng minh ở câu a) nên hay
Xét ∆BCM và ∆EDM có: là góc chung và
Do ∆BCM ᔕ ∆EDM (g.g) nên
Suy ra MD . MB = ME . MC.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24). Chứng minh:
a) MN ⊥ AB;
b) MN = NH.
Câu 2:
Cho đường tròn tâm O bán kính 15 cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 25 cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H.
a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB và (O’) là đường tròn đường kính HC. Chứng minh:
a) Điểm D thuộc đường tròn (O) và điểm E thuộc đường tròn (O’);
b) Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài;
c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);
d) AH = DE;
e) Diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.
Câu 4:
Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh:
a) Bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên một đường tròn;
b) BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 5:
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm trên đường tròn. Lấy điểm B sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OB. Kẻ hai tiếp tuyến BM, BN của đường tròn (O).
a) Tính số đo góc MBN và độ dài đoạn thẳng BM theo R.
b) Tứ giác AMON là hình gì? Vì sao?
c) Tính độ dài đoạn thẳng OH theo R với H là giao điểm của OA và MN.
Câu 6:
Hình 23 minh hoạ thước phân giác. Thước gồm hai thanh gỗ ghép lại thành góc vuông BAC và một tấm gỗ có dạng hình tam giác ACD với AD là tia phân giác của góc BAC. Có thể dùng thước phân giác để tìm tâm của một hình tròn hay không? Vì sao?
về câu hỏi!