Câu hỏi:
29/07/2024 4,424
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
a)
b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
a)
b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a ⊥ OD.
Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a ⊥ O’E.
Suy ra OD // O’E nên (hai góc đồng vị). (1)
Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R) nên
Mà nên (2)
Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra (4)
Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên (5)
Mà
Từ (4), (5) và (6) suy ra hay
Ta lại có (tổng ba góc của tam giác BCM)
Do đó hay
b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra nên ∆ABD vuông tại D, hay AD ⊥ BM.
Tương tự, ta cũng chứng minh được DE ⊥ CM.
Xét tứ giác ADME có nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.
Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên
Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung
Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).
Suy ra hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).
Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).
c) Ta có và nên
Lại có (chứng minh ở câu a) nên hay
Xét ∆BCM và ∆EDM có: là góc chung và
Do ∆BCM ᔕ ∆EDM (g.g) nên
Suy ra MD . MB = ME . MC.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Do Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB nên Ax ⊥ AB, By ⊥ AB, suy ra Ax // By.
Đường tròn (O) có:
⦁ hai tiếp tuyến Ax, CD cắt nhau tại C nên CA = CM;
⦁ hai tiếp tuyến By, CD cắt nhau tại D nên DB = DM.
Xét ∆ANC có AC // BD nên (hệ quả định lí Thalès) suy ra
Do đó MN // AC (định lí Thalès đảo) hay MN // Ax
Mà Ax ⊥ AB nên MN ⊥ AB.
b) Xét ∆ACD có MN // AC nên (hệ quả của định lí Thalès).
Xét ∆ANC có AC // BD nên (hệ quả của định lí Thalès).
Suy ra (tính chất tỉ lệ thức) hay
Xét ∆ABC có NH // AC nên (hệ quả của định lí Thalès).
Do đó, ta có:
Vậy MN = NH.
Lời giải
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, khi đó
Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác, hay OC ⊥ AB tại I.
Ta có ∆BIC vuông tại I có IM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên
Ta có ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên
Từ (1), (2) và (3), suy ra
Do đó bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
b) Đường tròn (C) có hai tiếp tuyến BI, BD cắt nhau tại B nên CB là tia phân giác của góc ICD, hay
Mặt khác, ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên hay
Suy ra mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // CD.
Lại có BD ⊥ CD nên BD ⊥ OB tại B, mà B nằm trên đường tròn (O)
Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức có lời giải
-
Chuyên đề 8: Hình học (có đáp án)
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận