Câu hỏi:

29/07/2024 4,463

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

a) $\hat{D M E} = 90 °$

b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’);

c) MD.MB = ME.MC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh Diều Bài 3. Tiếp tuyến của đường tròn !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a ⊥ OD.

Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a ⊥ O’E.

Suy ra OD // O’E nên $\hat{B O D} = \hat{A O' E}$ (hai góc đồng vị). (1)

Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R) nên $\hat{O B D} = \hat{O D B}$

Mà $\hat{O B D} + \hat{O D B} + \hat{B O D} = 180 °$ nên $\hat{O D B} = \hat{O B D} = \frac{180 ° - \hat{B O D}}{2}$ (2)

Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có $\hat{O' A E} = \hat{O' E A} = \frac{180 ° - \hat{A O' E}}{2}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{O B D} = \hat{O' E A}$ (4)

Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên $\hat{O' C E} = \hat{O' E C}$ (5)

Mà $\hat{O' E A} + \hat{O' E C} = \hat{A E C} = 90 °$

Từ (4), (5) và (6) suy ra $\hat{O B D} + \hat{O' C E} = 90 °$ hay $\hat{C B M} + \hat{B C M} = 90 °$

Ta lại có $\hat{C B M} + \hat{B M C} + \hat{B C M} = 180 °$ (tổng ba góc của tam giác BCM)

Do đó $\hat{B M C} = 180 ° - (\hat{C B M} + \hat{B C M}) = 180 ° - 90 ° = 90 °$ hay $\hat{D M E} = 90 °$

b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra $D O = \frac{1}{2} A B$ nên ∆ABD vuông tại D, hay AD ⊥ BM.

Tương tự, ta cũng chứng minh được DE ⊥ CM.

Xét tứ giác ADME có $\hat{D M E} = \hat{A D M} = \hat{A E M} = 90 °$ nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên $I A = I M = \frac{1}{2} A M = \frac{1}{2} D E = I D = I E$

Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung

Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).

Suy ra $\hat{O A I} = \hat{O D I} = 90 °$ hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).

Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).

c) Ta có $\hat{M E D} + \hat{A E D} = \hat{A E M} = 90 °$ và $\hat{O' E A} + \hat{A E D} = \hat{O' E D} = 90 °$ nên $\hat{O' E A} = \hat{M E D}$

Lại có $\hat{O B D} = \hat{O' E A}$ (chứng minh ở câu a) nên $\hat{O B D} = \hat{M E D}$ hay $\hat{M B C} = \hat{M E D}$

Xét ∆BCM và ∆EDM có: $\hat{B M C}$ là góc chung và $\hat{M B C} = \hat{M E D}$

Do ∆BCM ᔕ ∆EDM (g.g) nên $\frac{M B}{M E} = \frac{M C}{M D}$

Suy ra MD . MB = ME . MC.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24). Chứng minh:

a) MN ⊥ AB;

b) MN = NH.

Xem đáp án

Lời giải

a) Do Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB nên Ax ⊥ AB, By ⊥ AB, suy ra Ax // By.

Đường tròn (O) có:

⦁ hai tiếp tuyến Ax, CD cắt nhau tại C nên CA = CM;

⦁ hai tiếp tuyến By, CD cắt nhau tại D nên DB = DM.

Xét ∆ANC có AC // BD nên $\frac{N A}{N D} = \frac{C A}{D B}$ (hệ quả định lí Thalès) suy ra $\frac{N A}{N D} = \frac{C M}{D M}$

Do đó MN // AC (định lí Thalès đảo) hay MN // Ax

Mà Ax ⊥ AB nên MN ⊥ AB.

b) Xét ∆ACD có MN // AC nên $\frac{M N}{A C} = \frac{D N}{D A}$ (hệ quả của định lí Thalès).

Xét ∆ANC có AC // BD nên $\frac{D N}{N A} = \frac{B N}{N C}$ (hệ quả của định lí Thalès).

Suy ra $\frac{D N}{D N + N A} = \frac{B N}{B N + N C}$ (tính chất tỉ lệ thức) hay $\frac{D N}{D A} = \frac{B N}{B C}$

Xét ∆ABC có NH // AC nên $\frac{B N}{B C} = \frac{N H}{A C}$ (hệ quả của định lí Thalès).

Do đó, ta có: $\frac{M N}{A C} = \frac{D N}{D A} = \frac{B N}{B C} = \frac{N H}{A C}$

Vậy MN = NH.

Câu 2

Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh:

a) Bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên một đường tròn;

b) BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, khi đó $M B = M C = \frac{1}{2} B C . (1)$

Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác, hay OC ⊥ AB tại I.

Ta có ∆BIC vuông tại I có IM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên $I M = \frac{1}{2} B C . (2)$

Ta có ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên $D M = \frac{1}{2} B C . (3)$

Từ (1), (2) và (3), suy ra $I M = D M = C M = B M = \frac{B C}{2} .$

Do đó bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

b) Đường tròn (C) có hai tiếp tuyến BI, BD cắt nhau tại B nên CB là tia phân giác của góc ICD, hay $\hat{B C I} = \hat{B C D} .$

Mặt khác, ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên $\hat{O B C} = \hat{O C B}$ hay $\hat{O B C} = \hat{B C I} .$

Suy ra $\hat{O B C} = \hat{B C D},$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // CD.

Lại có BD ⊥ CD nên BD ⊥ OB tại B, mà B nằm trên đường tròn (O)

Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 3

Cho đường tròn tâm O bán kính 15 cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 25 cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H.

a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm trên đường tròn. Lấy điểm B sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OB. Kẻ hai tiếp tuyến BM, BN của đường tròn (O).

a) Tính số đo góc MBN và độ dài đoạn thẳng BM theo R.

b) Tứ giác AMON là hình gì? Vì sao?

c) Tính độ dài đoạn thẳng OH theo R với H là giao điểm của OA và MN.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB và (O’) là đường tròn đường kính HC. Chứng minh:

a) Điểm D thuộc đường tròn (O) và điểm E thuộc đường tròn (O’);

b) Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài;

c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);

d) AH = DE;

e) Diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Hình 23 minh hoạ thước phân giác. Thước gồm hai thanh gỗ ghép lại thành góc vuông BAC và một tấm gỗ có dạng hình tam giác ACD với AD là tia phân giác của góc BAC. Có thể dùng thước phân giác để tìm tâm của một hình tròn hay không? Vì sao?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu