Câu hỏi:

29/07/2024 21,434

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24). Chứng minh:

a) MN AB;

b) MN = NH.

Media VietJack

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Do Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB nên Ax AB, By AB, suy ra Ax // By.

Đường tròn (O) có:

hai tiếp tuyến Ax, CD cắt nhau tại C nên CA = CM;

hai tiếp tuyến By, CD cắt nhau tại D nên DB = DM.

Xét ∆ANC có AC // BD nên NAND=CADB  (hệ quả định lí Thalès) suy ra NAND=CMDM

Do đó MN // AC (định lí Thalès đảo) hay MN // Ax

Mà Ax AB nên MN AB.

b) Xét ∆ACD có MN // AC nên MNAC=DNDA  (hệ quả của định lí Thalès).

Xét ∆ANC có AC // BD nên DNNA=BNNC  (hệ quả của định lí Thalès).

Suy ra DNDN+NA=BNBN+NC  (tính chất tỉ lệ thức) hay DNDA=BNBC

Xét ∆ABC có NH // AC nên BNBC=NHAC  (hệ quả của định lí Thalès).

Do đó, ta có: MNAC=DNDA=BNBC=NHAC

Vậy MN = NH.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, khi đó MB=MC=12BC.   1

Xét ∆OAB có OA = OB nên OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác, hay OC AB tại I.

Ta có ∆BIC vuông tại I có IM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên IM=12BC.   2

Ta có ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên DM=12BC.   3

Từ (1), (2) và (3), suy ra IM=DM=CM=BM=BC2.

Do đó bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

b) Đường tròn (C) có hai tiếp tuyến BI, BD cắt nhau tại B nên CB là tia phân giác của góc ICD, hay BCI^=BCD^.

Mặt khác, ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên OBC^=OCB^  hay  OBC^=BCI^.

Suy ra OBC^=BCD^,  mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // CD.

Lại có BD CD nên BD OB tại B, mà B nằm trên đường tròn (O)

Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải

Media VietJack

a) Xét ∆OBC có OB = OC nên OBC cân tại O, suy ra đường cao OH của tam giác cũng đồng thời là đường phân giác của góc BOC, do đó O1^=O2^.

Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AB OB hay ABO^=90°

Xét ∆OAC ∆OAB có:

OC = OB, O1^=O2^,  cạnh OA chung

Do đó ∆OAC = ∆OAB (c.g.c).

Suy ra OCA^=OBA^=90°  hay AC vuông góc với OC tại C thuộc đường tròn (O).

Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Xét ∆OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có: OA2 = AB2 + OB2

Suy ra AB=OA2OB2=252152=400=20  cm.

Xét ∆OBH và ∆OAB có: OHB^=OBA^=90° O^  là góc chung

Do đó ∆OBH OAB (g.g)

Suy ra BHAB=OBOA  nên BH=ABOBOA=201525=12 cm.

Do OBC cân tại O, suy ra đường cao OH của tam giác cũng đồng thời là đường trung tuyến hay H là trung điểm của BC, nên BC = 2BH = 2.12 = 24 cm.

Do ∆OAC = ∆OAB (chứng minh ở câu a) nên AC = AB = 20 cm.

Vậy tam giác ABC có AB = AC = 20 cm và BC = 24 cm.

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay