Giải SBT Toán 9 CD Bài 1. Bất đẳng thức có đáp án

⦁ Ta có: a > b nên a + c > b + c.

Mà c > d nên b + c > b + d

Suy ra a + c > b + c > b + d. Do đó bất đẳng thức a) là đúng.

⦁ Ta có: a > b nên ac > bc nếu c > 0.

Mà c > d nên bc > bd nếu b > 0.

Khi đó ac > bc > bd khi và chỉ khi b > 0 và c > 0.

Do đó bất đẳng thức b) là chưa đúng do chưa đủ điều kiện kết luận..

⦁ Ta có: a > b nên a – d > b – d.

Mà c > d nên –c < –d, suy ra b – c < b – d.

Suy ra a – d > b – d > b – c. Do đó bất đẳng thức c) là đúng.

⦁ Ta có: a > c nên nếu c > 0, hay với c > 0 thì

Mà b > d nên nếu d < 0, hay với d < 0 thì

Khi đó, khi và chỉ khi c > 0 và d < 0.

Do đó bất đẳng thức d) là chưa đúng do chưa đủ điều kiện kết luận.

Vậy các bất đẳng thức đúng là a), c).

Do a < b nên a + 23 < b + 23, do đó ‒24(a + 23) > ‒24(b + 23).

Vậy M > N.

Do a < b nên do đó

Lại có hay

Nên

Vậy P < Q.

Bất đẳng thức x2 > y2 là sai.

Chẳng hạn, chọn x = ‒1 và y = ‒2 ta có: x2 = (‒1)2 = 1 và y2 = (‒2)2 = 4.

Khi đó x > y nhưng x2 < y2.

Do a, b, c, d là các số không âm nên c + d cũng không âm.

Khi đó, với a > c + d ≥ 0 và b > c + d ≥ 0, ta có:

 a + 2b > c + d + 2b > c + d + 2.(c + d) 

Suy ra a + 2b > 3c + 3d;

a2 + b2 > (c + d)2 + b2 > (c + d)2 + (c + d)2 

Hay a2 + b2 > 2c2 + 4cd + 2d2

Mà 2c2 + 4cd + 2d2 > 2c2 + 2cd + 2d2.

Nên a2 + b2 > 2c2 + 2cd + 2d2.

Do a, b, c, d là các số không âm nên c + d cũng không âm.

Khi đó, với a > c + d ≥ 0 và b > c + d ≥ 0, ta có:

Với hai số thực x, y tùy ý, ta có: (x + y)2 ≥ 0 hay x2 + 2xy + y2 ≥ 0

Do đó x2 + y2 ≥ –2xy.

Với ba số thực x, y, z tùy ý, ta có:

(x – y)2 ≥ 0; (y – z)2 ≥ 0; (z – x)2 ≥ 0

Suy ra (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ 0

Hay x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥ 0

Do đó 2x2 + 2y2 + 2z2 ≥ 2xy + 2yz + 2zx

Suy ra x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx.

Xét hiệu:

3(x2 + y2 + z2) – (x + y + z)2

= 3x2 + 3y2 + 3z2 – (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx)

= 3x2 + 3y2 + 3z2 – x2 – y2 – z2 – 2xy – 2yz – 2zx

= 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx

Mà theo câu b, ta có 2x2 + 2y2 + 2z2 ≥ 2xy + 2yz + 2zx

Hay 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx ≥ 0

Suy ra 3(x2 + y2 + z2) – (x + y + z)2 ≥ 0

Vậy 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2.

Do 5 < 6 nên  

Do 4 > 7 nên 

Suy ra

Do đó hay

Do 11 < 13 nên

Do 5 < 7 nên

Suy ra  

Do đó

Vì vậy,

Ta có: 221 = 2.220 = 2.(210)2 = 2.1 0242

Do 3 > 2 nên 3.1 0242 > 2.1 0242.

Do đó 3.1 0242 > 221.

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a + b > c, b + c > a, c + a > b.

Ta có a < b + c nên a2 < a(b + c).

Tương tự, ta có: b2 < b(c + a), c2 < c(a + b).

Do đó a2 + b2 + c2 < a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)

Hay a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

Theo kết quả Ví dụ 2c, trang 32, SBT Toán lớp 9, Tập một, ta có:

Hay

Tương tự, ta chứng minh được

Do đó

Vậy

Theo kết quả Ví dụ 2c, trang 32, SBT Toán lớp 9, Tập một, ta có:

Hay

Tương tự, ta chứng minh được

Do đó

Vậy

Do 301 < 338 < 500;

      301 < 406 < 500;

      301 < 312,9 < 500;

      51 < 78 < 100.

Nên chất lượng không khí vào sáng ngày 09/01/2023 tại Hà Nội, Thái Nguyên, Hưng Yên, Sơn La lần lượt ở mức Nguy hại, Nguy hại, Nguy hại, Trung bình.

Giá bán của mỗi chiếc điện thoại là:

20.125% = 25 (triệu đồng).

Số tiền cửa hàng nhận được sau khi bán hết 60 chiếc điện thoại là:

60 . 25 = 1 500 (triệu đồng).

Số tiền cửa hàng dùng để nhập 60 chiếc điện thoại là:

60 . 20 = 1 200 (triệu đồng).

Số tiền lãi mà cửa hàng đó thu được khi bán hết 60 chiếc điện thoại là:

1 500 ‒ (1 200 + 36 + 20) = 244 (triệu đồng).

Do 244 < 250 nên nhận định đã cho là sai.

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, AK vuông góc với CD tại K.

Khi đó, diện tích của tam giác ABC là: và diện tích của tam giác ACD là:

Diện tích của tứ giác ABCD là:

Mà CH ≤ BC và AK ≤ AD (trong các đường xiên, đường vuông góc có độ dài ngắn nhất), suy ra

Vậy diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn

Gọi x (m) là độ dài cạnh song song với bờ giậu và y (m) là độ dài cạnh vuông góc với bờ giậu (x > 0, y > 0).

Do bác Long đã tận dụng bờ giậu có sẵn để làm một cạnh hàng rào của mảnh vườn nên bác Long chỉ cần rào thêm một cạnh song song với bờ giậu và hai cạnh vuông góc với bờ giậu.

Khi đó, ta có: x + 2y = 80 hay x = 80 ‒ 2y

Diện tích của mảnh vườn là:

S = xy = (80 ‒2y)y = ‒2y2 + 80y

= ‒2(y2 ‒ 40y + 400) + 800

= ‒ 2(y ‒ 20)2 + 800 (m2).

Do (y – 20)2 ≥ 0 với mọi y nên ‒ 2(y ‒ 20)2 + 800 ≤ 800.

Do đó, diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long rào được là 800 m2.

Dấu “=” xảy ra khi y ‒ 20 = 0 hay y = 20.

Thay y = 20 vào x = 80 ‒ 2y, ta được: x = 80 ‒ 2.20 = 40.

Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất mà bác Long rào được có chiều dài 40 m và chiều rộng 20 m.