Cho x, y, z là các số thực tuỳ ý. Chứng minh:

x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx

Xét hiệu:

3(x2 + y2 + z2) – (x + y + z)2

= 3x2 + 3y2 + 3z2 – (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx)

= 3x2 + 3y2 + 3z2 – x2 – y2 – z2 – 2xy – 2yz – 2zx

= 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx

Mà theo câu b, ta có 2x2 + 2y2 + 2z2 ≥ 2xy + 2yz + 2zx

Hay 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx ≥ 0

Suy ra 3(x2 + y2 + z2) – (x + y + z)2 ≥ 0

Vậy 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2.

Gọi x (m) là độ dài cạnh song song với bờ giậu và y (m) là độ dài cạnh vuông góc với bờ giậu (x > 0, y > 0).

Do bác Long đã tận dụng bờ giậu có sẵn để làm một cạnh hàng rào của mảnh vườn nên bác Long chỉ cần rào thêm một cạnh song song với bờ giậu và hai cạnh vuông góc với bờ giậu.

Khi đó, ta có: x + 2y = 80 hay x = 80 ‒ 2y

Diện tích của mảnh vườn là:

S = xy = (80 ‒2y)y = ‒2y2 + 80y

= ‒2(y2 ‒ 40y + 400) + 800

= ‒ 2(y ‒ 20)2 + 800 (m2).

Do (y – 20)2 ≥ 0 với mọi y nên ‒ 2(y ‒ 20)2 + 800 ≤ 800.

Do đó, diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long rào được là 800 m2.

Dấu “=” xảy ra khi y ‒ 20 = 0 hay y = 20.

Thay y = 20 vào x = 80 ‒ 2y, ta được: x = 80 ‒ 2.20 = 40.

Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất mà bác Long rào được có chiều dài 40 m và chiều rộng 20 m.