Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng ∫12exx dx với độ chính xác 0,01.

1. Ta có: fx=exx; f'x=exx'=ex⋅x−exx2=1x−1x2 ex; f''x=1x−1x2 ex'=1x−2x2+2x3ex f'''x=1x−2x2+2x3ex'=1x−3x2+6x3−6x4ex f'''(x) = 0 thì x ≈ 1,596. Ta có f''(1) = e; f''(1,596) ≈ 0,333 ∙ e1,569; f''(2) = e24. Do đó, M=maxx∈1;2f''x=e. 2. Ta cần tìm n sao cho:2−13⋅e12n2<0,01⇔e12n2<0,01⇔n>25e3. Do đó, ta chọn n = 5. 3. Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn có độ dài bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2]. Áp dụng công thức hình thang, ta có: ∫12exxdx≈2−12⋅5e11+2⋅e1,21,2+2⋅e1,41,4+2⋅e1,61,6+2⋅e1,81,8+e22 ≈ 3,065.

Câu hỏi:

11/07/2024 602

Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng $\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} d x$ với độ chính xác 0,01.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 KNTT Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm Geogebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1. Ta có: $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ;

$f^{'} (x) = {(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} \cdot x - e^{x}}{x^{2}} = (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}) e^{x};$

$f^{''} (x) = {[(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}) e^{x}]}^{'} = (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) e^{x}$

${f^{'}}^{'}^{'} (x) = {[(\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) e^{x}]}^{'} = (\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}) e^{x}$

f'''(x) = 0 thì x ≈ 1,596.

Ta có f''(1) = e; f''(1,596) ≈ 0,333 ∙ e^1,569; f''(2) = $\frac{e^{2}}{4}$ .

Do đó, $M = \max_{x \in [1; 2]} |f^{''} (x)| = e$ .

2. Ta cần tìm n sao cho: $\frac{{(2 - 1)}^{3} \cdot e}{12 n^{2}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{e}{12 n^{2}} < 0,01 \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{25 e}{3}}$ .

Do đó, ta chọn n = 5.

3. Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn có độ dài bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].

Áp dụng công thức hình thang, ta có: $\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} d x$ $\approx \frac{2 - 1}{2 \cdot 5} [\frac{e^{1}}{1} + 2 \cdot \frac{e^{1,2}}{1,2} + 2 \cdot \frac{e^{1,4}}{1,4} + 2 \cdot \frac{e^{1,6}}{1,6} + 2 \cdot \frac{e^{1,8}}{1,8} + \frac{e^{2}}{2}]$ ≈ 3,065.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một thân cây dài 4,8 m được cắt thành các khúc gỗ dài 60 cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x (cm) là khoảng cách tính từ đỉnh thân cây đến vết cắt.

x (cm)

0

60

120

180

240

300

360

420

480

S (cm²)

240

248

256

260

264

272

298

316

320

Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.

Hướng dẫn.

Thể tích cần tính là $V = \int_{0}^{480} S (x) d x$ , trong đó S(x) là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng x (cm). Sử dụng phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân này.

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích gần đúng của thân cây đã cho là $V = \int_{0}^{480} S (x) d x$ .

Ta chia đoạn [0; 480] thành n = 8 đoạn con có độ dài bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài là 60. Các đoạn đó là: [0; 60], [60; 120], [120; 180], [180; 240], [240; 300], [300; 360], [360; 420], [420; 480].

Áp dụng công thức hình thang, ta có:

$V = \int_{0}^{480} S (x) d x$ $\approx \frac{480 - 0}{2 \cdot 8}$ (240 + 2 ∙ 248 + 2 ∙ 256 + 2 ∙ 260 + 2 ∙ 264 + 2 ∙ 272 + 2 ∙ 298

+ 2 ∙ 316 + 320] = 131 640 (cm³) = 0,13164 (m³).

Câu 2

Sử dụng phần mềm Geogebra, tính:

a) $\int \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x$

Xem đáp án

Lời giải

Khởi động phần mềm Geogebra, chọn Complex Adaptive System (CAS) để thực hiện tính toán nguyên hàm và tích phân.

a) Để tính $\int \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x$ , ta dùng lệnh IntegralSymbolic( $\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 1}$ ), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau: