a) Để tính $\int \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x$ , ta dùng lệnh IntegralSymbolic( $\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 1}$ ), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:

Sử dụng phần mềm Geogebra, tính: a) Tích phân của (x^2 -2x +2)/ x+ 1 dx (ảnh 1)

Vậy $\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 1}$ = 5ln|x + 1| + $\frac{1}{2}$ x² – 3x + C.

Câu 2/4

Sử dụng phần mềm Geogebra, tính:

b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} \cos 2 x d x$ .

Xem đáp án

Lời giải

b) Để tính gần đúng tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} \cos 2 x d x$ , ta dùng lệnh Nintegral(e^xcos2x, 0, $\frac{π}{2}$ ), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:

Sử dụng phần mềm Geogebra, tính: b) Tích phân từ 0 đến pi/2 của e^x cos 2x dx . (ảnh 1)

Vậy $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} \cos 2 x d x$ ≈ – 1,16.

Câu 3/4

Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng $\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} d x$ với độ chính xác 0,01.

Xem đáp án

Lời giải

1. Ta có: $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ;

$f^{'} (x) = {(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} \cdot x - e^{x}}{x^{2}} = (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}) e^{x};$

$f^{''} (x) = {[(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}) e^{x}]}^{'} = (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) e^{x}$

${f^{'}}^{'}^{'} (x) = {[(\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) e^{x}]}^{'} = (\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}) e^{x}$

f'''(x) = 0 thì x ≈ 1,596.

Ta có f''(1) = e; f''(1,596) ≈ 0,333 ∙ e^1,569; f''(2) = $\frac{e^{2}}{4}$ .

Do đó, $M = \max_{x \in [1; 2]} |f^{''} (x)| = e$ .

2. Ta cần tìm n sao cho: $\frac{{(2 - 1)}^{3} \cdot e}{12 n^{2}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{e}{12 n^{2}} < 0,01 \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{25 e}{3}}$ .

Do đó, ta chọn n = 5.

3. Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn có độ dài bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].

Áp dụng công thức hình thang, ta có: $\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} d x$ $\approx \frac{2 - 1}{2 \cdot 5} [\frac{e^{1}}{1} + 2 \cdot \frac{e^{1,2}}{1,2} + 2 \cdot \frac{e^{1,4}}{1,4} + 2 \cdot \frac{e^{1,6}}{1,6} + 2 \cdot \frac{e^{1,8}}{1,8} + \frac{e^{2}}{2}]$ ≈ 3,065.

Câu 4/4

Một thân cây dài 4,8 m được cắt thành các khúc gỗ dài 60 cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x (cm) là khoảng cách tính từ đỉnh thân cây đến vết cắt.

x (cm)

0

60

120

180

240

300

360

420

480

S (cm²)

240

248

256

260

264

272

298

316

320

Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.

Hướng dẫn.

Thể tích cần tính là $V = \int_{0}^{480} S (x) d x$ , trong đó S(x) là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng x (cm). Sử dụng phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân này.

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích gần đúng của thân cây đã cho là $V = \int_{0}^{480} S (x) d x$ .

Ta chia đoạn [0; 480] thành n = 8 đoạn con có độ dài bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài là 60. Các đoạn đó là: [0; 60], [60; 120], [120; 180], [180; 240], [240; 300], [300; 360], [360; 420], [420; 480].

Áp dụng công thức hình thang, ta có:

$V = \int_{0}^{480} S (x) d x$ $\approx \frac{480 - 0}{2 \cdot 8}$ (240 + 2 ∙ 248 + 2 ∙ 256 + 2 ∙ 260 + 2 ∙ 264 + 2 ∙ 272 + 2 ∙ 298

+ 2 ∙ 316 + 320] = 131 640 (cm³) = 0,13164 (m³).

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Sử dụng phần mềm Geogebra, tính:

a) $\int \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x$

Sử dụng phần mềm Geogebra, tính:

b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} \cos 2 x d x$ .

Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng $\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} d x$ với độ chính xác 0,01.