Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 16. Công thức tính góc trong không gian có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O là trung điểm của AC.

Ta có: A(0; −2; 0), B(\(2\sqrt 3 \); 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; −2; 7), B'(\(2\sqrt 3 \); 0; 6), C'(0; 2; 5).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;4;0} \right),\overrightarrow {A'B'} = \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;4; - 2} \right)\).

Có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( {0;0;8\sqrt 3 } \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\).

Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là \(\frac{1}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\).

Mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là \(\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\).

Do đó \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {1 + 4} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)Þ ((ABC), (A'B'C')) ≈ 26,6°.

Suy ra mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng 26,6°.

a) Vì \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của D và D' nên giá của \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với D, giá của \(\overrightarrow {u'} \) song song hoặc trùng với D'. Do đó:

+) (D, D') \( = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)\) nếu \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) \le 90^\circ \).

+) \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)\) nếu \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) > 90^\circ \).

b) \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\).

Trục Oz có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {Oz,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).

Vậy (Oz, D) ≈ 48,2°.

Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)\).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt 2 }}\).

Do đó (D, (P)) ≈ 28,1°.