(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.

a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên).

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra SO ^ AC, SO ^ BD nên SO ^ (ABCD).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = \(115\sqrt 2 \).

Xét tam giác SOB vuông tại O, có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} = 7\sqrt {439} \).

Ta có \(A\left( { - 115\sqrt 2 ;0;0} \right),B\left( {0; - 115\sqrt 2 ;0} \right),C\left( {115\sqrt 2 ;0;0} \right),S\left( {0;0;7\sqrt {439} } \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( { - 115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right),\overrightarrow {SB} = \left( {0; - 115\sqrt 2 ; - 7\sqrt {439} } \right),\)

\(\overrightarrow {SC} = \left( {115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 7\sqrt {439} }\\{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&{ - 115\sqrt 2 }\\{ - 7\sqrt {439} }&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&0\\0&{ - 115\sqrt 2 }\end{array}} \right|} \right)\)

\( = \left( { - 805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\0&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&0\\{ - 7\sqrt {439} }&{115\sqrt 2 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 115\sqrt 2 }\\{115\sqrt 2 }&0\end{array}} \right|} \right)\)

\( = \left( {805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450} \right)\).

Mặt phẳng (SAB) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( { - 161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SBC) nhận \(\overrightarrow {n'} = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right)\\ = \frac{{\left| { - {{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} .\sqrt {{{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} }}\end{array}\)

\[ = \frac{{{{5290}^2}}}{{{{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}}}\]\[ \approx 0,3807\].

Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.