Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra SO ^ AC, SO ^ BD nên SO ^ (ABCD).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = \(115\sqrt 2 \).

Xét tam giác SOB vuông tại O, có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} = 7\sqrt {439} \).

Ta có \(A\left( { - 115\sqrt 2 ;0;0} \right),B\left( {0; - 115\sqrt 2 ;0} \right),C\left( {115\sqrt 2 ;0;0} \right),S\left( {0;0;7\sqrt {439} } \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( { - 115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right),\overrightarrow {SB} = \left( {0; - 115\sqrt 2 ; - 7\sqrt {439} } \right),\)

\(\overrightarrow {SC} = \left( {115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 7\sqrt {439} }\\{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&{ - 115\sqrt 2 }\\{ - 7\sqrt {439} }&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&0\\0&{ - 115\sqrt 2 }\end{array}} \right|} \right)\)

\( = \left( { - 805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\0&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&0\\{ - 7\sqrt {439} }&{115\sqrt 2 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 115\sqrt 2 }\\{115\sqrt 2 }&0\end{array}} \right|} \right)\)

\( = \left( {805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450} \right)\).

Mặt phẳng (SAB) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( { - 161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SBC) nhận \(\overrightarrow {n'} = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right)\\ = \frac{{\left| { - {{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} .\sqrt {{{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} }}\end{array}\)

\[ = \frac{{{{5290}^2}}}{{{{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}}}\]\[ \approx 0,3807\].

Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.