Câu hỏi:
11/07/2024 33,274
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Quảng cáo
Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.
Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.
Suy ra SO ^ AC, SO ^ BD nên SO ^ (ABCD).
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.
Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = \(115\sqrt 2 \).
Xét tam giác SOB vuông tại O, có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} = 7\sqrt {439} \).
Ta có \(A\left( { - 115\sqrt 2 ;0;0} \right),B\left( {0; - 115\sqrt 2 ;0} \right),C\left( {115\sqrt 2 ;0;0} \right),S\left( {0;0;7\sqrt {439} } \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( { - 115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right),\overrightarrow {SB} = \left( {0; - 115\sqrt 2 ; - 7\sqrt {439} } \right),\)
\(\overrightarrow {SC} = \left( {115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 7\sqrt {439} }\\{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&{ - 115\sqrt 2 }\\{ - 7\sqrt {439} }&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&0\\0&{ - 115\sqrt 2 }\end{array}} \right|} \right)\)
\( = \left( { - 805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\0&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&0\\{ - 7\sqrt {439} }&{115\sqrt 2 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 115\sqrt 2 }\\{115\sqrt 2 }&0\end{array}} \right|} \right)\)
\( = \left( {805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450} \right)\).
Mặt phẳng (SAB) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( { - 161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (SBC) nhận \(\overrightarrow {n'} = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Do đó
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right)\\ = \frac{{\left| { - {{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} .\sqrt {{{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}} }}\end{array}\)
\[ = \frac{{{{5290}^2}}}{{{{\left( {161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{\left( { - 161\sqrt {878} } \right)}^2} + {{5290}^2}}}\]\[ \approx 0,3807\].
Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O là trung điểm của AC.
Ta có: A(0; −2; 0), B(\(2\sqrt 3 \); 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; −2; 7), B'(\(2\sqrt 3 \); 0; 6), C'(0; 2; 5).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2\sqrt 3 ;2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;4;0} \right),\overrightarrow {A'B'} = \left( {2\sqrt 3 ;2; - 1} \right),\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;4; - 2} \right)\).
Có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\4&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{2\sqrt 3 }\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( {0;0;8\sqrt 3 } \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 3 }&2\\0&4\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( {0;4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right)\).
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là \(\frac{1}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\).
Mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là \(\frac{1}{{4\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;1;2} \right)\).
Do đó \(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {1 + 4} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)Þ ((ABC), (A'B'C')) ≈ 26,6°.
Suy ra mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng 26,6°.
Lời giải

a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
40 cm = 0,4 m, 44 cm = 0,44 m, 48 cm = 0,48 m.
Khi đó ta có A(0; 1; 0,4), B(1; 1; 0,44), C(1; 0; 0,48).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0,04} \right)\).
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_D} = 1\\ - {y_D} = 0\\0,48 - {z_D} = 0,04\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 0\\{z_D} = 0,44\end{array} \right.\).
Suy ra D(0; 0; 0,44).
Vậy khoảng cách từ điểm D đến đáy bể là 44 cm.
b) Ta có đáy bể nằm trong mặt phẳng Oxy: z = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Ta có\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0,04} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;0,08} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0,04; - 0,04; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (ABCD) đi qua A(0; 1; 0,4) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0,04; - 0,04; - 1} \right)\) có phương trình là:
0,04x – 0,04(y – 1) – (z – 0,4) = 0 Û 0,04x – 0,04y – z + 0,44 = 0.
Do đó góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang chính là góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt đáy.
Có \(\cos \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {{{0,04}^2} + {{\left( { - 0,04} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{25}}{{\sqrt {627} }}\).
Suy ra ((ABCD), (Oxy)) ≈ 3,2°.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Triều Đoàn
giải sợ ai chép à