S = \(\int\limits_0^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + \int\limits_2^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \)

= \(\int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^5 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)

= \(\left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^5\)

= 4.2 – \(\frac{8}{3}\) − 4.0 + \(\frac{0}{3}\) + \(\frac{{{5^3}}}{3}\) − 4.5 – \(\frac{8}{3}\) + 4.2 = \(\frac{{97}}{3}\).

b) Diện tích cần tính là:

S = \(\int\limits_0^2 {\left| { - {x^2} + 9 - \left( {2x + 1} \right)} \right|dx} \) = \(\int\limits_0^2 {\left| { - {x^2} - 2x + 8} \right|} dx\)

= \(\int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} - 2x + 8} \right)dx} \)

= \(\left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} - {x^2} + 8x} \right)} \right|_0^2\) = \(\frac{{28}}{3}\).

Câu 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = (x – 1)³, y = x – 1,x = 0, x = 1.

b) y = x³ + 2x² – 3x, y = x² + 3x, x = −3, x = 0.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: (x – 1)3 ≥ x – 1, với mọi x ∈ [0; 1].

Do đó, diện tích cần tính là:

S = \(\int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {x - 1} \right)}^3} - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} \) = \(\int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^3} - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \)

= \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)} dx\)

= \(\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + {x^2}} \right)} \right|_0^1\) = \(\frac{1}{4}\).

b) Ta có: x3 + 2x2 – 3x – x2 – 3x = x3 + x2 – 6x = x(x – 2)(x + 3) ≥ 0, với mọi x ∈ [−3; 0].

Do đó, diện tích cần tính là:

S = \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left| {{x^3} + 2{x^2}--3x--{x^2}--3x} \right|} dx\)

= \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left| {{x^3} + {x^2} - 6x} \right|dx} \)

= \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 6x} \right)dx} \)

= \(\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2}} \right)} \right|_{ - 3}^0\)

= \(\frac{{63}}{4}\).

Câu 3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = ex, y = \(\sqrt x \), x = 0, x = 1;

b) y = cosx, y = \(\frac{1}{2}\), x = 0, x = \(\frac{\pi }{3}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: ex ≥ 1 ≥ \(\sqrt x \), với mọi x ∈ [0; 1], nên diện tích cần tính là:

S = \(\int\limits_0^1 {\left| {{e^x} - \sqrt x } \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - \sqrt x } \right)dx} \) = \(\left. {\left( {{e^x} - \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1\) = e − \(\frac{5}{3}\).

b) Vì cosx ≥ \(\frac{1}{2}\), với mọi x ∈ \(\left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\), nên diện tích cần tính là:

S = \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left| {\cos x - \frac{1}{2}} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)dx} = \left. {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6}\).

Câu 4

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:

a) y = \(2\sqrt x \), y = 0, x = 1, x = 4.

b) y = 4x, y = x3, x = 0, x = 2.

Xem đáp án

Lời giải

a) Thể tích cần tính là:

V = π\(\int\limits_1^4 {{{\left( {2\sqrt x } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_1^4 {4xdx = \left. {\pi 2{x^2}} \right|_1^4 = 30\pi } \).

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: a) y = 2 căn x, y = 0, x = 1, x = 4. b) y = 4x, y = x^3, x = 0, x = 2. (ảnh 1)

Đồ thị hàm số y = 4x nằm phía trên đồ thị hàm số y = x3 so với trục hoành, với mọi

x ∈ [0; 2].

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 4x, y = 0, x = 0, x = 2 quanh trục Ox là:

V1 = \(\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {4x} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {16{x^2}dx} = \frac{{128\pi }}{3}\).

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, y = 0, x = 0, x = 2 quanh trục Ox là:

V2 = \(\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {{x^6}dx} = \frac{{128\pi }}{7}\).

Thể tích cần tính là: V = V1 – V2 = \(\frac{{128\pi }}{3}\) − \(\frac{{128\pi }}{7}\) = \(\frac{{512\pi }}{{21}}\).

Câu 5

Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\sqrt x \), y = \(\frac{{{x^2}}}{8}\), x = 0, x = 4.

a) Tính diện tích hình phẳng.

b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có đồ thị hàm số như sau:

Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường y = căn x, y =x ^ 2/ 8, x = 0, x = 4. a) Tính diện tích hình phẳng. b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox. (ảnh 1)

Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = \(\sqrt x \) nằm phía trên đồ thị hàm số y = \(\frac{{{x^2}}}{8}\) so với trục hoành, với x ∈ [0; 4].

Diện tích cần tính là:

S = \(\int\limits_0^4 {\left| {\sqrt x - \frac{{{x^2}}}{8}} \right|} dx = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{2}{3}x\sqrt x - \frac{{{x^3}}}{{24}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{8}{3}\).

b) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\sqrt x \),

y = 0, x = 0, x = 4 quanh trục Ox là:

V1 = \(\pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \left. {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 8\pi .} \)

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\frac{{{x^2}}}{8}\),

y = 0, x = 0, x = 2 quanh trục Ox là:

V2 = \(\pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{8}} \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^4 {\frac{{{x^4}}}{{64}}dx = \left. {\frac{{\pi {x^5}}}{{320}}} \right|_0^4 = \frac{{16\pi }}{5}.} \)

Thể tích cần tính là:

V = V1 – V2 = \(8\pi - \frac{{16\pi }}{5} = \frac{{24\pi }}{5}\).

Câu 6