b) Tích phân cần tích chính là diện tích của \(\frac{1}{4}\) hình tròn có tâm tại gốc tọa độ O và bán kính R = 4 (phần nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ) như hình dưới đây.

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) tích phân 0 3 (2x+1) b tích phân 0 4 că (16 - x^2) (ảnh 2)

Do đó, \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \)= \(\frac{1}{4}.\pi {.4^2}\) = 4π.

Câu 2

Cho \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx = 6} \) và \(\int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx = 2} \). Hãy tính:

a) \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx\);

b) \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]} dx\).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx\) = \(2\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx} \)

= 2.6 + 3.2 = 18.

b) \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]} dx\) = \(2\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx} \)

= 2.6 – 3.2 = 6.

Câu 3

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} dx\);

b) \(\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx} \).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} dx\) = \(\int\limits_0^1 {\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)} dx\)

= \(\left. {\left( {x - 2{x^2} + \frac{4}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^1\)

= \(\frac{1}{3}\).

b) \(\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx} \) = \(\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)dx} \)

= \(\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - 2.{x^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)dx} \)

= \(\left. {\left( {\frac{2}{3}x\sqrt x - 4\sqrt x } \right)} \right|_1^4\)

= \(\frac{2}{3}\).

Câu 4

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^2 {\left| {2x - 1} \right|dx} \);

b) \(\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(\int\limits_0^2 {\left| {2x - 1} \right|dx} \) = \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {2x - 1} \right|dx} \)

= \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)dx} \)

= \(\left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2\) = \(\frac{5}{2}\).

b) \(\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \) = \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \)

= \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( {x - 1} \right)dx} \)

= \(\left. {\left( {x - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^1 + \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - x} \right)} \right|_1^3\)

= 1² − \(\frac{1}{2}\).1² – (−2) + \(\frac{1}{2}\).(−2)² + \(\frac{1}{2}\).3² – 3 − \(\frac{1}{2}\).1² + 1.

= \(\frac{{13}}{2}\).

Câu 5

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\cos x + 2\sin x} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\cos x + 2\sin x} \right)dx} \) = \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\cos xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin xdx} \)

= \(\left. {3\sin x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} - \left. {2\cos x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}}\)

= \(3\sin \frac{\pi }{2} - 3\sin 0 - 2\cos \frac{\pi }{2} + 2\cos 0\)

= 5.

b) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \) = \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)

= \(\left. {\tan x} \right|_{_{\frac{\pi }{6}}}^{^{\frac{\pi }{4}}} - \left. {\cot x} \right|_{_{\frac{\pi }{6}}}^{^{\frac{\pi }{4}}}\)

= \(\tan \frac{\pi }{4} - \tan \frac{\pi }{6} - \cot \frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{6}\)

= 2 − \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Câu 6