Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\) Mặt phẳng \(\left( P \right):x + ay + bz + c = 0\,\,\,(c > 0)\) song song với \({d_1},\,\,{d_2}\) và khoảng cách từ \({d_1}\) đến \(\left( P \right)\) bằng 2 lần khoảng cách từ \({d_2}\) đến \(\left( P \right)\). Tính

Gọi \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\,2} \right)\,,\,\,\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\) lần lượt là một vectơ chỉ phương của \[{d_1},\,{d_2}.\]

Gọi \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right)\), có

\(\overrightarrow {{n_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right).\)

\(\vec n = \left( {1\,;\,\,a\,;\,\,b} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\).

Do \(\left( P \right)\) song song với \({d_1},\,\,{d_2}\) nên chọn \(\vec n = \left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right).\)

Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(x - 3y + z + c = 0.\)

Lấy \({M_1}\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right) \in {d_1},\,\,{M_2}\left( {1\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right) \in {d_2}\).

Có \(d\left( {{d_1}\,,\,\,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {{d_2}\,,\,\,\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {{M_1}\,,\,\,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {{M_2}\,,\,\,\left( P \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 + c} \right|}}{{\sqrt {11} }} = 2\frac{{\left| {1 - 3 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt {11} }}\)\[ \Leftrightarrow \left| {8 + c} \right| = 2\left| { - 4 + c} \right|\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 + c = 2\left( { - 4 + c} \right)}\\{8 + c = 2\left( {4 - c} \right)}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 16\,\,(TM)}\\{c = 0\,\,(L)}\end{array}} \right.\)

Do đó \((P):x - 3y + z + 16 = 0 \Rightarrow a =  - 3,\,\,b = 1,\,\,c = 16.\)

Vậy \(a + b + c = 14.\)

Đáp án: 14.