Câu hỏi:

19/06/2024 419

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), đồng thời thỏa mãn \(f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) - {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = 2{e^{6x}},\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Biết \(f(0) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = a \cdot {e^b}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\) Giá trị \(a + b\) bằng

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có \[f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) - {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = 2{e^{6x}} \Leftrightarrow 2{e^{ - 2x}}\left[ {f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right] = 4{e^{4x}}\]

\( \Leftrightarrow \left[ {{e^{ - 2x}} \cdot {f^2}\left( x \right)} \right] = 4{e^{4x}} \Rightarrow {e^{ - 2x}} \cdot {f^2}\left( x \right) = {e^{4x}} + C.\)

• \[f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow {e^0} \cdot {f^2}\left( 0 \right) = {e^0} + C \Rightarrow C = 0.\]

• \(f\left( 1 \right) = a \cdot {e^b} \Rightarrow {e^{ - 2}} \cdot {f^2}\left( 1 \right) = {e^4} \Rightarrow {f^2}\left( 1 \right) = {e^6} \Rightarrow f\left( 1 \right) = {e^3}.\)

Vậy \(a = 1\,,\,\,b = 3 \Rightarrow a + b = 4.\) Chọn A.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:

\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)

\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}}  = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

\(x\)

 0

\(\frac{3}{2}\)

4

\(t'\left( x \right)\)

\( - \)

0                        +

 

\(t\left( x \right)\)

  \(\frac{{11}}{{15}}\)  

Media VietJack

 

\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Media VietJack

 

 

\(\frac{2}{3}\)

 

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP