Cho hàm số \(y = {x^3} - 8{x^2} + 8x\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và hàm số \(y = {x^2} + \left( {8 - a} \right)x - b\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\). Biết đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại ba điểm có hoành độ nằm trong \(\left[ { - 1\,;\,5} \right].\) Khi \(a\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tích \[ab\] bằng

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\({x^3} - 8{x^2} + 8x = {x^2} + \left( {8 - a} \right)x - b \Leftrightarrow {x^3} - 9{x^2} + ax + b = 0\,\,\,(1)\)

Khi đó phương trình (1) có ba nghiệm nằm trong \(\left[ { - 1\,;\,\,5} \right]\).

Đặt \(f(x) = {x^3} - 9{x^2} + ax + b\) suy ra \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 18x + a.\)

Để phương trình (1) có ba nghiệm nằm trong \(\left[ { - 1\,;\,\,5} \right]\) thì \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 18x + a = 0\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - 1\,;\,\,5} \right]\)\( \Leftrightarrow a = - 3{x^2} + 18x\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - 1\,;\,\,5} \right]\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = - 3{x^2} + 18x\) suy ra \(g'\left( x \right) = - 6x + 18\), ta có \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)

Bảng biến thiên của \(y = g\left( x \right)\).

Media VietJack

Từ BBT, ta có \(15 \le a < 27\) suy ra giá trị nhỏ nhất của \(a\) bằng 15 khi \(x = 5\), khi đó \(b = 25.\)

Vậy tích \(ab = 375.\)

Đáp án: 375.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bạn Hưng đang trên chiếc thuyền tại vị trí \[A\] cách bờ sông \(2\;\,{\rm{km}}\), bạn dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm \({\rm{B}}\) tọa lạc ven bờ sông, \({\rm{B}}\) cách vị trí \[O\] trên bờ gần với thuyền nhất là \(4\;\,{\rm{km}}\) (hình vẽ). Biết rằng bạn Hưng chèo thuyền với vậntốc \(6\;\,{\rm{m}}/{\rm{h}}\) và chạy bộ trên bờ với vận tốc \(10\;\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.\) Khoảng thời gian ngắn nhất để bạn Hưng từ vị trí xuất phát đến được điểm B là\[A\left( {1\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {4\,;\,\, - 3} \right).\]

A. 40 phút.

B. 44 phút.

C. 30 phút.

D. 38 phút.

Lời giải

Media VietJack

Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:

\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)

\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	0	\(\frac{3}{2}\)	4
\(t'\left( x \right)\)	\( - \)	0 +
\(t\left( x \right)\)	\(\frac{{11}}{{15}}\)		\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
		\(\frac{2}{3}\)

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.

Câu 2