Cho tứ diện \[ABCD\] có \(AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và các cạnh còn lại đều bằng \[a.\] Biết rắng bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] bằng \(\frac{{a\sqrt m }}{n}\) với \(m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*};\,\,m \le 15.\) Tổng \(T = m + n\) bằng

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy \(ABC.\)

Do \(DA = DB = DC\) nên \(DO \bot \left( {ABC} \right).\)

Gọi \[H\] là trung điểm \(DA.\) Qua \[H\] kẻ \(HI \bot DA\,\,\left( {I \in DO} \right).\)

Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

− Xét tam giác \(ABC\) có:

• \(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{5}{8}\)

\( \Rightarrow \sin \widehat {ACB} = \frac{{\sqrt {39} }}{8}\).

• \(OA = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt {39} }}{8}}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{13}}\) (định lí sin).

− Xét tam giác \(OAD\) vuông tại \(O\) nên \[OD = \sqrt {A{D^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{2a\sqrt {13} }}{{13}}} \right)}^2}} = \frac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}.\]

Ta có \(\Delta DHI = \Delta D{\rm{OA}}\,\,{\rm{(g}}{\rm{.g)}}\) suy ra \(DI = \frac{{DH \cdot DA}}{{DO}} = \frac{{D{A^2}}}{{2DO}} = \frac{{{a^2}}}{{2 \cdot \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\).

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(R = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\).

\( \Rightarrow m = 13\,,\,\,n = 6 \Rightarrow T = m + n = 19.\)

Đáp án: 19.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bạn Hưng đang trên chiếc thuyền tại vị trí \[A\] cách bờ sông \(2\;\,{\rm{km}}\), bạn dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm \({\rm{B}}\) tọa lạc ven bờ sông, \({\rm{B}}\) cách vị trí \[O\] trên bờ gần với thuyền nhất là \(4\;\,{\rm{km}}\) (hình vẽ). Biết rằng bạn Hưng chèo thuyền với vậntốc \(6\;\,{\rm{m}}/{\rm{h}}\) và chạy bộ trên bờ với vận tốc \(10\;\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.\) Khoảng thời gian ngắn nhất để bạn Hưng từ vị trí xuất phát đến được điểm B là\[A\left( {1\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {4\,;\,\, - 3} \right).\]

A. 40 phút.

B. 44 phút.

C. 30 phút.

D. 38 phút.

Lời giải

Media VietJack

Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:

\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)

\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	0	\(\frac{3}{2}\)	4
\(t'\left( x \right)\)	\( - \)	0 +
\(t\left( x \right)\)	\(\frac{{11}}{{15}}\)		\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
		\(\frac{2}{3}\)

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.

Câu 2