Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z - 2 + i} \right)\left( {\bar z - 2 - i} \right) = 25.\) Biết tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(w = 2\bar z - 2 + 3i\) là đường tròn tâm \[I\left( {a;\,\,b} \right)\] và bán kính c. Giá trị của \(a + b + c\) bằng

Giả sử \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) và \(w = x + yi\,\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có \(\left( {z - 2 + i} \right)\left( {\bar z - 2 - i} \right) = 25\)

\( \Leftrightarrow \left[ {a - 2 + \left( {b + 1} \right)i} \right]\left[ {a - 2 - \left( {b + 1} \right)i} \right] = 25 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 25\).

Theo giả thiết: \[{\rm{w}} = 2\bar z - 2 + 3i \Leftrightarrow x + yi = 2\left( {a - bi} \right) - 2 + 3i\]

\( \Leftrightarrow x + yi = 2a - 2 + \left( {3 - 2b} \right)i \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2a - 2}\\{y = 3 - 2b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{x + 2}}{2}}\\{b = \frac{{3 - y}}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

Thay (2) vào (1) ta được \({\left( {\frac{{x + 2}}{2} - 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 - y}}{2} + 1} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 100.\)

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức \[w\] là đường tròn tâm \(I\left( {2\,;\,\,5} \right)\) và bán kính \(R = 10.\)

Vậy \(a + b + c = 17.\)

Đáp án: 17.