Câu hỏi:
11/07/2024 272
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho ba điểm \[A\left( {a\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\]\[\,\,B\left( {0\,;\,\,b\,;\,\,0} \right),\,\,\] \[C\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,c} \right)\] với \(a,\,\,b,\,\,c > 0.\) Biết rằng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{1}{7}\,;\,\,\frac{2}{7}\,;\,\,\frac{3}{7}} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{72}}{7}.\) Tính \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\)
Vì điểm \(M\left( {\frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên
\(\frac{{\frac{1}{7}}}{a} + \frac{{\frac{2}{7}}}{b} + \frac{{\frac{3}{7}}}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{7a}} + \frac{2}{{7b}} + \frac{3}{{7c}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7\).
Mặt khác mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tiếp xúc với \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{72}}{7}\)
Do đó, khoảng cách từ tâm \[I\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)\] của cầu tới mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\sqrt {\frac{{72}}{7}} \)
\( \Rightarrow d\left( {I\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \sqrt {\frac{{72}}{7}} \) mà \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7\)
\( \Rightarrow d\left( {I\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {7 - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \sqrt {\frac{{72}}{7}} \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{7}{2}{\rm{.}}\) Đáp án: \[\frac{7}{2}\].
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)
Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:
\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)
\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)
Bảng biến thiên:
\(x\) |
0 |
\(\frac{3}{2}\) |
4 |
\(t'\left( x \right)\) |
\( - \) |
0 + |
|
\(t\left( x \right)\) |
\(\frac{{11}}{{15}}\) |
|
\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\) |
|
|
\(\frac{2}{3}\) |
|
Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.
Lời giải
Tốc độ truyền bệnh là \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2} = 675 - 3{\left( {t - 15} \right)^2} \le 675\)
Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất khi \(t = 15\), tức là vào ngày thứ 15. Chọn C.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.