Cho tứ diện \[ABCD\], trên các cạnh \(BC,\,\,BD,\,\,AC\) lần lượt lấy các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) sao cho \(BC = 3BM,\,\,BD = \frac{3}{2}BN,\,\,AC = 2AP.\) Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối tứ diện \[ABCD\] thành hai phần có thể tích là \({V_1},\,\,{V_2}\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi Ta có \[Q = AD \cap \left( {MNP} \right).\]

Thiết diện \[ABCD\] được cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] là tứ giác \(MNQP\).

Áp dụng định lsi Menelaus trong các tam giác \(BCD\) và \(ACD\), ta có:

\(\frac{{NB}}{{ND}} \cdot \frac{{ID}}{{IC}} \cdot \frac{{MC}}{{MB}} = 1 \Rightarrow \frac{{ID}}{{IC}} = \frac{1}{4}\) và \[\frac{{ID}}{{IC}} \cdot \frac{{PC}}{{PA}} \cdot \frac{{QA}}{{QD}} = 1 \Rightarrow \frac{{QA}}{{QD}} = 4\].\[{V_{ABCD}} = V,\,\,I = MN \cap CD,\,\,Q = IP \cap AD.\]

Áp dụng bài toán tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác, ta có

•\[\frac{{{V_{ANPQ}}}}{{{V_{ANCD}}}} = \frac{{AP}}{{AC}} \cdot \frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{2}{5}\]\( \Rightarrow {V_{ANPQ}} = \frac{2}{5}{V_{ANCD}} = \frac{2}{{15}}V\) suy ra \({V_{N.PQDC}} = \frac{1}{3}V - \frac{2}{{15}}V = \frac{1}{5}V\);

• \[\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{CBNA}}}} = \frac{{CM}}{{CB}} \cdot \frac{{CP}}{{CA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{CMNP}} = \frac{1}{3}{V_{CBNA}} = \frac{2}{9}V\] suy ra \({V_2} = {V_{N.PQDC}} + {V_{CMNP}} = \frac{{19}}{{45}}V.\)

Do đó \({V_1} = V - {V_2} = \frac{{26}}{{45}}V.\) Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{26}}{{19}}.\)

Đáp án: \[\frac{{26}}{{19}}\].

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bạn Hưng đang trên chiếc thuyền tại vị trí \[A\] cách bờ sông \(2\;\,{\rm{km}}\), bạn dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm \({\rm{B}}\) tọa lạc ven bờ sông, \({\rm{B}}\) cách vị trí \[O\] trên bờ gần với thuyền nhất là \(4\;\,{\rm{km}}\) (hình vẽ). Biết rằng bạn Hưng chèo thuyền với vậntốc \(6\;\,{\rm{m}}/{\rm{h}}\) và chạy bộ trên bờ với vận tốc \(10\;\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.\) Khoảng thời gian ngắn nhất để bạn Hưng từ vị trí xuất phát đến được điểm B là\[A\left( {1\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {4\,;\,\, - 3} \right).\]

A. 40 phút.

B. 44 phút.

C. 30 phút.

D. 38 phút.

Lời giải

Media VietJack

Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:

\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)

\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	0	\(\frac{3}{2}\)	4
\(t'\left( x \right)\)	\( - \)	0 +
\(t\left( x \right)\)	\(\frac{{11}}{{15}}\)		\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
		\(\frac{2}{3}\)

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.

Câu 2