Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + 2{m^2} - 2m = 0\), với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 10\,;\,\,10} \right)\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 2} \right| = \left| {{z_2} - 2} \right|\)?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt \(w = z - 2\), ta được phương trình \({\left( {w + 2} \right)^2} - 2m\left( {w + 2} \right) + 2{m^2} - 2m = 0\)

\( \Leftrightarrow {w^2} - (2m - 4)w + 2{m^2} - 6m + 4 = 0\).

Khi đó bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({w_1},{w_2}\) thỏa mãn \(\left| {{w_1}} \right| = \left| {{w_2}} \right|.\)

Xét phương trình (1) có \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - 2{m^2} + 6m - 4 = - {m^2} + 2m.\)

• TH1: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m \in \left( {0\,;\,\,2} \right).\) Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1.\)

Thay vào phương trình ta được \({w^2} + 2w = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{w = 0}\\{w = - 2}\end{array}} \right.\) không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

• TH2: \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phức phân biệt không phải số thực, hai nghiệm này là hai số phức liên hợp nên mô-đun của chúng luôn bằng nhau.

Kết hợp với điều kiện \(m\) là số nguyên và \(m \in \left( { - 10\,;\,\,10} \right)\).

Suy ra \(m \in \left\{ { - 9\,;\,\, - 8\,;\,\, \ldots \,;\,\, - 1} \right\} \cup \left\{ {3\,;\,\,4\,;\,\, \ldots \,;\,\,9} \right\}.\)

Vậy có 16 giá trị của \(m\) thỏa mãn. Đáp án: 6.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bạn Hưng đang trên chiếc thuyền tại vị trí \[A\] cách bờ sông \(2\;\,{\rm{km}}\), bạn dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm \({\rm{B}}\) tọa lạc ven bờ sông, \({\rm{B}}\) cách vị trí \[O\] trên bờ gần với thuyền nhất là \(4\;\,{\rm{km}}\) (hình vẽ). Biết rằng bạn Hưng chèo thuyền với vậntốc \(6\;\,{\rm{m}}/{\rm{h}}\) và chạy bộ trên bờ với vận tốc \(10\;\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.\) Khoảng thời gian ngắn nhất để bạn Hưng từ vị trí xuất phát đến được điểm B là\[A\left( {1\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {4\,;\,\, - 3} \right).\]

A. 40 phút.

B. 44 phút.

C. 30 phút.

D. 38 phút.

Lời giải

Media VietJack

Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:

\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)

\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	0	\(\frac{3}{2}\)	4
\(t'\left( x \right)\)	\( - \)	0 +
\(t\left( x \right)\)	\(\frac{{11}}{{15}}\)		\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
		\(\frac{2}{3}\)

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.

Câu 2