Cho mặt phẳng \((\alpha ):2x + 6y - 3z - 1 = 0\) và ba điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\, - 5} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right),\,\]\[\,C\left( {2\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right).\] Biết điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) sao cho \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - 2M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \({P_{\min }}.\) Khi đó \({P_{\min }}\) bằng bao nhiêu?

Gọi \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  - 2\overrightarrow {IC}  = \vec 0.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  - 2\overrightarrow {OC}  \Rightarrow I\left( { - 3\,;\,\, - 5\,;\,\, - 3} \right)\).

Ta có \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - 2M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

\( = M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} - 2I{C^2} + 2\left( {\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  - 2\overrightarrow {IC} } \right) = M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} - 2I{C^2}{\rm{. }}\)

Do \(I{A^2} + 2I{B^2} - 2I{C^2} = 36 + 70 - 93 = 13\) không đổi nên \({P_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)

Và \[M{I_{\min }} = {\rm{d}}\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 3} \right) + 6 \cdot \left( { - 5} \right) - 3 \cdot \left( { - 3} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 36 + 9} }} = 4.\]

Vậy \({P_{\min }} = 4 + 13 = 17.\) Đáp án: 17.