Cho hai số thực x, y thỏa mãn \(2{y^3} + 7y + 2x\sqrt {1 - x} = 3\sqrt {1 - x} + 3\left( {2{y^2} + 1} \right).\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x + 2y\) bằng
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Điều kiện: \(x \le 1.\)
\({\rm{Ta c\'o }}2{y^3} + 7y + 2x\sqrt {1 - x} = 3\sqrt {1 - x} + 3\left( {2{y^2} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {{y^3} - 3{y^2} + 3y - 1} \right) + y - 1 = 2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right) + \sqrt {1 - x} \)
\( \Leftrightarrow 2{\left( {y - 1} \right)^3} + y - 1 = 2{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^3} + \sqrt {1 - x} \,\,\,(*)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^3} + t\) có \(f'\left( t \right) = 6{t^2} + 1 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Khi đó \((*) \Leftrightarrow f\left( {y - 1} \right) = f\left( {\sqrt {1 - x} } \right) \Leftrightarrow y - 1 = \sqrt {1 - x} \Leftrightarrow x = 2y - {y^2}\) (điều kiện \(y \ge 1\))
Khi đó \[P = x + 2y = - {y^2} + 4y = 4 - {\left( {y - 2} \right)^2} \le 4\]
Đẳng thức xảy ra khi \(y = 2,x = 0.\)
Vậy \(\max P = 4\) khi \(\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( {0\,;\,\,2} \right).\)
Đáp án: 4.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)
Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:
\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)
\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)
Bảng biến thiên:
|
\(x\) |
0 |
\(\frac{3}{2}\) |
4 |
|
\(t'\left( x \right)\) |
\( - \) |
0 + |
|
|
\(t\left( x \right)\) |
\(\frac{{11}}{{15}}\)
|
|
\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
|
|
|
|
\(\frac{2}{3}\) |
|
Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.
Lời giải
Tốc độ truyền bệnh là \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2} = 675 - 3{\left( {t - 15} \right)^2} \le 675\)
Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất khi \(t = 15\), tức là vào ngày thứ 15. Chọn C.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Tia hồng ngoại.
B. Tia tử ngoại.
C. Tia Rơn-ghen.
D. Tia gama.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. Vùng 1 và 2.
B. Vùng 3 và 4.
C. Vùng 1 và 3.
D. Vùng 2 và 4.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(1620\;{\rm{kg}}.\)
B. \(1440\;{\rm{kg}}.\)
C. \(1350\;{\rm{kg}}.\)
D. \(1530\;{\rm{kg}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. nước ngọt rất cần thiết cho phát triển nuôi trồng thủy sản.
B. đất bị nhiễm phèn, nhiễm mặn, cần nước ngọt để cải tạo.
C. thiếu nước ngọt cho đời sống sinh hoạt và sản xuất.
D. thiếu nước ngọt cho sản xuất nông nghiệp, công nghiệp.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo