Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \[A\left( {3\,;\,\,1\,;\,\,2} \right),\,\,B\left( { - 3\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)\] và mặt phẳng \((P):x + y + 3z - 14 = 0.\) Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho \(\Delta MAB\) vuông tại \[M.\] Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)

Gọi toạ độ của điểm \(M\) là \[M\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right)\]

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {x - 3\,;\,\,y - 1\,;\,\,z - 2} \right),\,\,\overrightarrow {BM}  = \left( {x + 3\,;\,\,y + 1\,;\,\,z} \right){\rm{.}}\)

Vì \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11.{\rm{ }}\)

\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} .\)

Ta có \(d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3 \cdot 1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^3}} }} = \sqrt {11}  = R\)\( \Rightarrow (P)\) tiếp xúc với \((S)\) tại \(M\)

\( \Rightarrow IM \bot (P)\) hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \((P)\)

Ta có \(M \in (P) \Rightarrow x + y + 3z = 14\) (1).

\(\overrightarrow {IM}  = \left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z - 1} \right)\) cùng phương với VTPT của mặt phẳng \((P) \Rightarrow \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + 3z = 14}\\{\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 4}\end{array} \Rightarrow M\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,4} \right)} \right.} \right..\)

Vậy \(d\left( {M\,;\,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| 4 \right| = 4.\)

Đáp án: 4.