Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( { - 2\,;\,\,4\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z =  - 2 + t}\end{array}} \right..\) Gọi \((S)\) là mặt cầu đi qua \[A,\,\,B\] và có tâm thuộc đường thẳng \[d.\] Bán kính mặt cầu \((S)\) bằng

Ta có \[f'\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow a + b = 3\].   (1)

Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng \[\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\], các điểm \(x = 1,x = \frac{1}{2}\) đều thuộc \((0; + \infty )\) nên

\(f(x) = \int {f'} (x){\rm{d}}x = \int {\left( {a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}}} \right)} \,\,{\rm{d}}x = \frac{{a{x^3}}}{3} - \frac{b}{{2{x^2}}} + C.\)

• \(f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{3} - \frac{b}{2} + C = 2\).                                                         (2)

• \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{{12}} \Rightarrow \frac{a}{{24}} - 2b + C =  - \frac{1}{{12}}\).   (3).

Từ (1), (2) và (3) ta được hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 3}\\{\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + C = 2}\\{\frac{a}{{24}} - 2b + C =  - \frac{1}{{12}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 1}\\{C = \frac{{11}}{6}}\end{array} \Rightarrow 2a + b = 2 \cdot 2 + 1 = 5.} \right.} \right.\)

Chọn C.

Gọi toạ độ của điểm \(M\) là \[M\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right)\]

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {x - 3\,;\,\,y - 1\,;\,\,z - 2} \right),\,\,\overrightarrow {BM}  = \left( {x + 3\,;\,\,y + 1\,;\,\,z} \right){\rm{.}}\)

Vì \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11.{\rm{ }}\)

\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} .\)

Ta có \(d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3 \cdot 1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^3}} }} = \sqrt {11}  = R\)\( \Rightarrow (P)\) tiếp xúc với \((S)\) tại \(M\)

\( \Rightarrow IM \bot (P)\) hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \((P)\)

Ta có \(M \in (P) \Rightarrow x + y + 3z = 14\) (1).

\(\overrightarrow {IM}  = \left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z - 1} \right)\) cùng phương với VTPT của mặt phẳng \((P) \Rightarrow \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + 3z = 14}\\{\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 4}\end{array} \Rightarrow M\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,4} \right)} \right.} \right..\)

Vậy \(d\left( {M\,;\,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| 4 \right| = 4.\)

Đáp án: 4.