Câu hỏi:
19/06/2024 52Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} \,{\rm{d}}x = 2.\] Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x.\)
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 4) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \(u = \tan x \Rightarrow du = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx \Rightarrow \frac{{du}}{{{u^2} + 1}} = dx.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\).
Ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( u \right)}}{{{u^2} + 1}}} \,{\rm{d}}u = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} \,{\rm{d}}x \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} \,{\rm{d}}x = 2\).
Do đó \[I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}\,} dx + \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} \,\,dx = 2 + 2 = 4\].
Chọn C.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một khách sạn có 50 phòng, người ta tính rằng nếu mỗi phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng một ngày thì tất cả các phòng đều hết. Biết răng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi người quản lý phải quyết định giá phòng là bao nhiêu nghìn đồng để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất?
Xem đáp án »
11/07/2024
21,552
Câu 2:
Tất cả giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2{m^2} + 4\) cắt các trục tọa độ \[Ox,\,\,Oy\] lần lượt tại \[A,\,\,B\] sao cho diện tích tam giác \[OAB\] bằng 8 là
Xem đáp án »
19/06/2024
6,830
Câu 3:
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (với \[a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\] là số thực) có đồ thị như hình dưới đây. Tính giá trị biểu thức \(T = \frac{{a - 2b + 3d}}{c}.\)
Xem đáp án »
19/06/2024
6,562
Câu 4:
Cho tập A là tập hợp các số tự nhiên, mà mỗi số tự nhiên trong A đều chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5 , hoặc chia hết cho cả 3 và 5 . Trong đó có 2019 số chia hết cho 3; 2020 số chia hết cho 5,195 số chia hết cho 15. Hỏi tập A có bao nhiêu phần tử?
Xem đáp án »
11/07/2024
3,996
Câu 5:
Mất an ninh lương thực dẫn tới hệ quả trực tiếp chủ yếu nào sau đây?
Xem đáp án »
25/06/2024
3,404
Câu 6:
Trong không gian \[Oxyz,\] tam giác \[ABC\] với \(A\left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,3} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\, - 4\,;\,\,5} \right),C\left( {a\,;\,\, - 2\,;\,\,b} \right)\) nhận điểm \(G\left( {1\,;\,\,c\,;\,\,3} \right)\) làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng \(a + b + c\) bằng
Xem đáp án »
19/06/2024
3,129
Câu 7:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}},\,\,f'\left( 1 \right) = 3,\,\,f\left( 1 \right) = 2,\,\,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{12}}.\) Khi đó \(2a + b\) bằng
Xem đáp án »
19/06/2024
1,479
về câu hỏi!