Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} \,{\rm{d}}x = 2.\] Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x.\)

Gọi \(x\) (nghìn đồng) là giá phòng khách sạn \((x > 400).\)

Giá chênh lệch sau khi tăng là: \(x - 400\) (nghìn đồng).

Số phòng trống lúc này là: \(2 \cdot \frac{{x - 400}}{{20}} = \frac{{x - 400}}{{10}}\) (phòng).

Số phòng cho thuê lúc này là: \(50 - \frac{{x - {{400}^{10}}}}{{20}} = \frac{{900 - x}}{{10}}\) (phòng).

Số tiền phòng thu được là: \(f\left( x \right) = x \cdot \left( {\frac{{900 - x}}{{10}}} \right) = \frac{{ - {x^2} + 900x}}{{10}}\) (nghìn đồng).

Ta cần tìm \(x > 400\) sao cho \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Dễ thấy \(x =  - \frac{{900}}{{2 \cdot ( - 1)}} = 450\) thì lớn nhất. Đáp án: 450.

Vì \(G\left( {1\,;\,\,c\,;\,\,3} \right)\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\] suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = \frac{{1 + 2 + a}}{3}}\\{c = \frac{{ - 3 - 4 - 2}}{3}}\\{3 = \frac{{3 + 5 + b}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 1}\\{c =  - 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(a + b + c =  - 2\). Chọn D.