Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \[\left[ { - 20\,;\,\,20} \right]\] để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + m + 6}}{{x - m}}\) trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,3} \right]\] là số dương?

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ m\} \). Để hàm số có giá trị lớn nhất trên \[\left[ {1\,;\,\,3} \right]\] thì \(m \notin \left[ {1\,;\,\,3} \right].\)

Ta có \(y' = \frac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).

• Trường hợp 1: \( - 2m - 6 > 0 \Leftrightarrow m <  - 3\).

Khi đó \({\max _{x \in \left[ {1\,;\,\,3} \right]}}y = y\left( 3 \right) = \frac{{m + 9}}{{3 - m}}\).

Để giá trị lớn nhất trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,3} \right]\] là số dương thì \(\frac{{m + 9}}{{3 - m}} > 0 \Leftrightarrow m + 9 > 0 \Leftrightarrow m >  - 9\)

Vậy các số nguyên \(m\) thỏa là \( - 8\, & ;\,\, - 7\, & ;\,\, - 6\, & ;\,\, - 5\, & ;\,\, - 4.\)

• Trường hợp 2: \( - 2m - 6 < 0 \Leftrightarrow m >  - 3\).

Khi đó \[{\max _{x \in \left[ {1\,;\,\,3} \right]}}y = y(1) = \frac{{m + 7}}{{1 - m}}\].

Để giá trị lớn nhất trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,3} \right]\] là số dương thì \(\frac{{m + 7}}{{1 - m}} > 0 \Leftrightarrow 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1\)

Vậy các số nguyên thỏa mãn là \( - 2\,;\,\, - 1\,;\,0\).

• Trường hợp 3: \( - 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\).

Khi đó \(y = 1\) nên \({\max _{x \in \left[ {1\,;\,\,3} \right]}}y = 1\).

Vậy \(m =  - 3\) thỏa mãn.