Cho parabol $\left( {{P_1}} \right):y =  - {x^2} + 2x + 3$ cắt trục hoành tại hai điểm $A,\,\,B$ và đường thẳng $d:y = a\,\,\left( {0 < a < 4} \right).$ Xét parabol $\left( {{P_2}} \right)$ đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng $y = a.$ Gọi ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( {{P_1}} \right)$ và $d.$ Gọi ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( {{P_2}} \right)$ và trục hoành. Biết ${S_1} = {S_2}$, tính $T = {a^3} - 8{a^2} + 48a.$

Để việc tính toán trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị.

Khi đó, phương trình các parabol mới là $\left( {{P_1}} \right):y =  - {x^2} + 4,\,\,\left( {{P_2}} \right):y =  - \frac{a}{4}{x^2} + a.$

Gọi $A,\,\,B$ là các giao điểm của $\left( {{P_1}} \right)$ và trục $Ox \Rightarrow A\left( { - 2\,;\,\,0} \right),B\left( {2\,;\,\,0} \right) \Rightarrow AB = 4.$

Gọi $M,\,\,N$ là các giao điểm của $\left( {{P_1}} \right)$ và đường thẳng $d \Rightarrow M\left( { - \sqrt {4 - a} \,;\,a} \right),N\left( {\sqrt {4 - a} ;\,\,a} \right).$

Ta có: ${S_1} = 2\int\limits_\alpha ^4 {\sqrt {4 - y} } dy =  - \left. {\frac{4}{3}\left( {{{\left( {4 - y} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_\alpha ^4 = \frac{4}{3}\left( {4 - a} \right)\sqrt {4 - a}$;

${S_2} = 2\int\limits_\alpha ^2 {\left( { - \frac{a}{4}{x^2} + a} \right)} \,dx = \left. {2\left( { - \frac{{a{x^3}}}{{12}} + ax} \right)} \right|_0^2 = \frac{{8a}}{3}$.

Theo giả thiết ${S_1} = {S_2} \Rightarrow \frac{4}{3}\left( {4 - a} \right)\sqrt {4 - a}  = \frac{{8a}}{3} \Leftrightarrow \left( {4 - {a^3}} \right) = 4{a^2} \Leftrightarrow {a^3} - 8{a^2} + 48a = 64$

Vậy $T = 64.$ Chọn B.