Cho phương trình \({\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {2{x^2} - x - 4{m^2} + 2m} \right) + {\log _{\sqrt {\sqrt 5  - 2} }}\sqrt {{x^2} + mx - 2{m^2}}  = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) đế phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 3?\)

\({\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {2{x^2} - x - 4{m^2} + 2m} \right) + {\log _{\sqrt {\sqrt 5  - 2} }}\sqrt {{x^2} + mx - 2{m^2}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {2{x^2} - x - 4{m^2} + 2m} \right) + {\log _{\sqrt 5  - 2}}\left( {{x^2} + mx - 2{m^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {2{x^2} - x - 4{m^2} + 2m} \right) + {\log _{\frac{{5 - 4}}{{\sqrt 5  + 2}}}}\left( {{x^2} + mx - 2{m^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {2{x^2} - x - 4{m^2} + 2m} \right) - {\log _{\sqrt 5  + 2}}\left( {{x^2} + mx - 2{m^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {\frac{{2{x^2} - x - 4{m^2} + 2m}}{{{x^2} + mx - 2{m^2}}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - x - 4{m^2} + 2m}}{{{x^2} + mx - 2{m^2}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - (1 + m)x - 2{m^2} + 2m = 0\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(1 + m)^2} + 2{m^2} - 2m > 0\\{x_1}^2 + {x_2}^2 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} + 1 > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {1 + m} \right)^2} - 2\left( {2m - 2{m^2}} \right) = 3 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 4m + 4{m^2} = 3 \Leftrightarrow 5{m^2} - 2m - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {11} }}{5}\).

Suy ra không có giá trị nguyên nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đáp án: 0.