Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - \sqrt {m + 1} \,z - \frac{1}{4}\left( {{m^2} - 5m - 6} \right) = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu số nguyên \[m \in \left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\] để phương trình trên có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1} - {z_2}} \right|?\)

Điều kiện \(m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 1 \cdot \Delta  = {m^2} - 4m - 5\).

• Trường hợp 1: \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 5 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 5}\\{m \le 1}\end{array}} \right.\) phương trình có 2 nghiệm thực \({z_1},\,\,{z_2}.\)

Theo định lý Viète, ta có: \({z_1}.{z_2} =  - \frac{1}{4}\left( {{m^2} - 5m - 6} \right)\)

\(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} \le {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} \Leftrightarrow 4{z_1} \cdot {z_2} \le 0\)

\( - \left( {{m^2} - 5m - 6} \right) \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5m - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 6}\\{m \le  - 1}\end{array}} \right.\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\) nên số giá trị \(m\) thỏa mãn \(\left( {10 - 6} \right) + 1 + 1 = 6.\)

• Trường hợp 2: \(\Delta  < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 5 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 5\) phương trình có 2 nghiệm phức \({z_1},{z_2}.\)

\(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} \le {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} \Leftrightarrow m + 1 \le \left| {{m^2} - 4m - 5} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 5m - 6 \ge 0}\\{{m^2} - 3m - 4 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 6}\\{m \le  - 1}\\{ - 1 \le m \le 4}\end{array}} \right.} \right.\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\,,\)\(m < 5\) và \(m \in \left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\) nên số giá trị \(m\) thỏa mãn là \(m = 0\,;\,\,m = 1\,;\,\,m = 2\,;\,\,m = 3.\)

Vậy có 10 giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Đáp án: 10.