Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{y = t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\), \(\Delta :\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{1}\) và mặt phẳng \((P):x + y - z + 2 = 0.\) Gọi \(d',\,\,\Delta '\) lần lượt là hình chiếu của \(d\,,\,\,\Delta \) lên mặt phẳng \(\left( P \right).\) Gọi \[M\left( {a;\,\,b\,;\,\,c} \right)\] là giao điểm của hai đường thẳng \(d'\) và \(\Delta '.\) Giá trị của tổng \(a + bc\) bằng

Gọi \(\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) lần lượt là hai mặt phẳng chứa \(d\,,\,\,\Delta \) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Khi đó, \(M = \left( P \right) \cap \left( Q \right) \cup \left( R \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\vec n = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right)\)

Đường thẳng \(d\) có VTPT \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right)\) và đi qua điểm \(M( - 2;0;2)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} \,;\,\,\vec n} \right] = \left( { - 3\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( Q \right):3\left( {x + 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + z - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + z + 4 = 0\)

Đường thẳng \(\Delta \) có VTPT \[\overrightarrow {{u_2}}  = \left[ {1\,;\, - 1\,;\, - 1} \right]\] và đi qua điểm \(M(3;1;4)\)

Mặt phẳng \((R)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_2}} \,;\,\vec n} \right] = \left( {0\,;\,2\,;\,2} \right)\)

\( \Rightarrow (R):0(x - 3) + 1(y - 1) + 1(z - 4) = 0 \Leftrightarrow y + z - 5 = 0\)

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - z =  - 2}\\{3x - 2y + z =  - 4}\\{y + z = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 2}\\{z = 3}\end{array} \Rightarrow M\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right) \Rightarrow a + bc = 5} \right.} \right..\)

Đáp án: 5.