Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 4x - 2.\) Gọi \(S\) là tống tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) + m} \right|\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]\) bằng 15. Tổng \(S\) thuộc khoảng nào sau đây?

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 4x - 2\) có \(f'\left( x \right) = 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - 4\)

Ta có \(h\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) + m\), có \(h'\left( x \right) = 2f'\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]\)

Suy ra \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = 1}\end{array}} \right.\).

• Với \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow h\left( 1 \right) = m + 24\).

• Với \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = 1 \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2} \Rightarrow h\left( {1 \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2}} \right) = m - 1\).

Tại \(x =  - 1 \Rightarrow h\left( { - 1} \right) = m + 8;\) tại \(x = 3 \Rightarrow h(3) = m + 8\)

Khi đó \(A = {\max _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}h\left( x \right) = m + 24;\quad a = {\min _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}h\left( x \right) = m - 1.\)

Mà \[{\max _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}g\left( x \right) = 15 \Leftrightarrow \frac{{\left| {A + a} \right| + \left| {A - a} \right|}}{2} = 15 \Leftrightarrow \left| {2m + 23} \right| + 25 = 30 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 9}\\{m =  - 14}\end{array}} \right.\]

Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \[ - 23\]. Chọn A.