Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị khác 0, có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4\) và \[{\left( {{x^2} + 3} \right)^2}f'\left( x \right) = 2x \cdot {f^2}\left( x \right)\] với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Giá trị của \(f\left( 3 \right)\) bằng

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow d \bot \left( P \right)\) và \(d \cap (P) = M\left( {0\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = (2; - 1;2) \Rightarrow MA = 3\)

Gọi chiều cao máng nước là: \(h = 10 \cdot \cos \theta \,\,({\rm{cm}})\).

Chiều dài đáy trên máng nước là:

\(10 + 2 \cdot \sqrt {{{10}^2} - {h^2}}  = 10 + 2 \cdot \sqrt {{{10}^2} - {{\left( {10 \cdot \cos \theta } \right)}^2}}  = 10 + 20 \cdot \sin \theta \,\,({\rm{cm}})\).

Máng nước chứa được nhiều nước nhất khi diện tích hình vẽ lớn nhất

\( \Leftrightarrow S = \frac{{10 + 20 \cdot \sin \theta  + 10}}{2} \cdot 10 \cdot \cos \theta  = 100 \cdot (1 + \sin \theta ) \cdot \cos \theta  = 100 \cdot \left( {\cos \theta  + \frac{{\sin 2\theta }}{2}} \right)\).

Ta có \(S' = 100\left( { - \sin \theta  + \cos 2\theta } \right) = 100\left( { - \sin \theta  + 1 - 2{{\sin }^2}\theta } \right)\)

Khi đó \(S' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \theta  =  - 1}\\{\sin \theta  = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Ta có bảng biến thiên: