Cho bất phương trình \(\ln \frac{{{x^3} - 2{x^2} + 2}}{{{x^2} + m}} + {x^3} - 3{x^2} + 2 - m \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ {0\,;\,\,10} \right)\) để phương trình nghiệm đúng với \[\forall x \in \left[ {0\,;\,\,3} \right]\]?

Điều kiện: \(\frac{{{x^3} - 2{x^2} + 2}}{{{x^2} + m}} > 0.\)

Do \({x^3} - 2{x^2} + 2 > 0\,;\,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,\,3} \right]\) nên chỉ cần xét điều kiện \({x^2} + m > 0\).

Với điều kiện (*) ta có:

Bất phương trình \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^3} - 2{x^2} + 2} \right) - \ln \left( {{x^2} + m} \right) + {x^3} - 3{x^2} + 2 - m \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^3} - 2{x^2} + 2} \right) + {x^3} - 2{x^2} + 2 \ge \ln \left( {{x^2} + m} \right) + {x^2} + m\)

Xét hàm: \(f\left( t \right) = \ln t + t\) trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right).\)

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{t} + t > 0\,\,\forall t \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right) \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right).\)

Do đó \((1) \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 2 \ge {x^2} + m \Leftrightarrow m \le {x^3} - 3{x^2} + 2.\)

Đặt \(g(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2.\)

BPT đã cho nghiệm đúng \[\forall x \in \left[ {0\,;\,\,3} \right]\] khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + m > 0\,;\,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,\,3} \right]}\\{m \le  \min { _{\left[ {0\,;\,\,3} \right]}}\,g\left( x \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m \le  - 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy không tồn tại giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 0.