Cho bất phương trình ( ln frac{{{x^3} - 2{x^2} + 2}}{{{x^2} + m}} + {x^3} - 3{x^2} + 2 - m ge 0. ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của (m in left[ {0 ,; , ,10} right) ) để phương trình nghiệm đúng với [ f...

Điều kiện: ( frac{{{x^3} - 2{x^2} + 2}}{{{x^2} + m}} > 0. ) Do ({x^3} - 2{x^2} + 2 > 0 ,; , , forall x in left[ {0 ,; , ,3} right] ) nên chỉ cần xét điều kiện ({x^2} + m > 0 ). Với điều kiện (*) ta có: Bất phương trình ( Leftrightarrow ln left( {{x^3} - 2{x^2} + 2} right) - ln left( {{x^2} + m} right) + {x^3} - 3{x^2} + 2 - m ge 0 ) ( Leftrightarrow ln left( {{x^3} - 2{x^2} + 2} right) + {x^3} - 2{x^2} + 2 ge ln left( {{x^2} + m} right) + {x^2} + m ) Xét hàm: (f left( t right) = ln t + t ) trên ( left( {0 ,; , , + infty } right). ) Ta có (f' left( t right) = frac{1}{t} + t > 0 , , forall t in left( {0 ,; , , + infty } right) Rightarrow f left( t right) ) là hàm đồng biến trên ( left( {0 ,; , , + infty } right). ) Do đó ((1) Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 2 ge {x^2} + m Leftrightarrow m le {x^3} - 3{x^2} + 2. ) Đặt (g(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2. ) BPT đã cho nghiệm đúng [ forall x in left[ {0 ,; , ,3} right] ] khi ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + m > 0 ,; , , forall x in left[ {0 ,; , ,3} right]} {m le min { _{ left[ {0 ,; , ,3} right]}} ,g left( x right)} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{m > 0} {m le - 2} end{array}} right.} right. ). Vậy không tồn tại giá trị của (m ) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đáp án: 0.