Câu hỏi:

19/08/2025 196 Lưu

Cho hai số thực dương \[x,\,\,y\] thỏa mãn \(4 + {3^{2{x^2} - y + 2}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} - y}}} \right) \cdot {7^{y - 2{x^2} + 2}}.\) Khi biểu thức \(P = \frac{{x + y + 10}}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng \(x + y\) bằng

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đặt \(t = 2{x^2} - y\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\), ta có \(4 + {3^{2{x^2} - y + 2}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} - y}}} \right) \cdot {7^{y - 2{x^2} + 2}}\)

\( \Leftrightarrow 4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right) \cdot \frac{{49}}{{{7^t}}} \Leftrightarrow 4\left( {{7^t} - 49} \right) + {9^t}\left[ {9 \cdot {{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^t} - 49} \right] = 0.\)

Nhận thấy \(t = 2\) là nghiệm của phương trình.

• Xét \(t > 2\) thì \({7^t} > 49\) và \(9 \cdot {\left( {\frac{7}{3}} \right)^t} > 49\) nên \({\rm{VT}} > 0\) mà \({\rm{VT}} = 0\) nên phương trình vô nghiệm.

• Xét \(t < 2\) tương tự suy ra \({\rm{VT}} < 0\) mà \({\rm{VT}} = 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Như vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(t = 2.\)

Suy ra \(2{x^2} - y = 2 \Leftrightarrow y = 2{x^2} - 2.\)

Thay vào \(P = \frac{{x + y + 10}}{x} = \frac{{x + 2{x^2} - 2 + 10}}{x} = 1 + 2x + \frac{8}{x} \ge 1 + 2\sqrt {2x \cdot \frac{8}{x}}  = 1 + 2 \cdot 4 = 9.\)

Dấu "=" xảy ra khi \(2x = \frac{8}{x} \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow x + y = 8.\)

Đáp án: 8.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow d \bot \left( P \right)\) và \(d \cap (P) = M\left( {0\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = (2; - 1;2) \Rightarrow MA = 3\)

Gọi \[H,\,\,K\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \({d_1}\) và \({d_2},\) ta có

\(d\left( {{d_1}\,;\,\,d} \right) = d\left( {M\,;\,\,{d_1}} \right) = MH,\,\,\,d\left( {{d_2}\,;\,\,d} \right) = d\left( {M\,;\,\,{d_2}} \right) = MK\)

\( \Rightarrow MH = MK = \sqrt 6 \) \( \Rightarrow \sin \widehat {MAK} = \sin \widehat {MAH} = \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

\( \Rightarrow \cos \left( {{d_1};\,\,{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {2 \cdot \widehat {MAH}} \right)} \right| = \left| {1 - 2{{\sin }^2}\widehat {MAH}} \right| = \left| {1 - \frac{4}{3}} \right| = \frac{1}{3}.\) Đáp án: \(\frac{1}{3}.\)

Lời giải

Media VietJack

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (tâm của hình tròn)

Hai Elip lần lượt có phương trình là \(\left( {{E_1}} \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) và \(\left( {{E_2}} \right):\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình \({x^2} + \frac{{1 - \frac{{{x^2}}}{4}}}{4} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{5} \Rightarrow x = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\[S = \pi  \cdot {2^2} - \pi  \cdot 2 \cdot 1 - 8\int\limits_2^{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} {\left( {2\sqrt {1 - {x^2}}  - \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{4}} } \right)} \,{\rm{d}}x \approx 3,7.\] Chọn C.

Câu 5

A. Ngăn chặn nạn phá rừng, đốt rừng.
B. Đẩy mạnh giao đất, giao rừng. 
C. Phát triển khai thác, chế biến gỗ. 
D. Khai thác hợp lí đi đôi với trồng rừng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. Nâng cao sức cạnh tranh cho thị trường chung. 
B. Giảm thiểu những rủi ro khi chuyển đổi tiền tệ. 
C. Thuận lợi cho việc chuyển giao vốn trong EU. 
D. Thu hẹp trình độ phát triển kinh tế giữa các nước.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

A. HX.                                                               

B. HY.

C. HZ.                                                                 
D. 3 dung dịch dẫn điện như nhau.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP