Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 2}} = 6\) với \[a,\,\,b\] là các số nguyên. Tính \(a + b.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 2}} = 6 \Rightarrow {x^2} + ax + b = 0\) với \(x = 2\)

\( \Rightarrow 4 + 2a + b = 0 \Rightarrow b =  - 4 - 2a\).

Thay vào biểu thức ban đầu, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + ax - 4 - 2a}}{{x - 2}} = 6 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + a + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + a + 2} \right) = 6\)

\( \Rightarrow 2 + a + 2 = 6 \Leftrightarrow a = 2\)\( \Rightarrow b =  - 4 - 2a =  - 8 \Rightarrow a + b =  - 6.\)

Đáp án: −6.