Cắt hình trụ \[\left( T \right)\] bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng \(30\,\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) và chu vi bằng \(26\;\,{\rm{cm}}.\) Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ \[\left( T \right)\]. Diện tích toàn phần của \[\left( T \right)\] là

A. \(23\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

B. \(\frac{{23\pi }}{2}\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

C. \(\frac{{69\pi }}{2}\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

D. \(69\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi \[h,\,\,r\] lần lượt là đường cao và bán kính đáy của hình trụ \[\left( T \right)\].

Thiết diện của mặt phẳng và hình trụ \[\left( T \right)\] là hình chữ nhật \[ABCD\].

Khi đó theo giả thiết ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h > 2r}\\{{S_{ABCD}} = h \cdot 2r = 30}\\{{C_{ABCD}} = 2\left( {h + 2r} \right) = 26}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h > 2r}\\{hr = 15}\\{h + 2r = 13}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h > 2r}\\{h = 13 - 2r}\\{ - 2{r^2} + 15r - 15 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h > 2r}\\{r = \frac{3}{2}.}\\{h = 10}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \({S_{TP}} = {S_{XQ}} + 2S = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi \frac{3}{2}10 + 2\pi {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{69\pi }}{2}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\) Chọn C.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{\rm{x}} + 2{\rm{ khi x}} \ge 1}\\{3{{\rm{x}}^2} + 1{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right..\) Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 2.\) Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(F\left( x \right) = \int f \left( x \right){\rm{d}}x = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + {C_1}}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{{x^3} + x + {C_2}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\).

Theo bài ra, ta có \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\).

Hàm số \(F\left( x \right)\) liên tục nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right)\)

\[ \Leftrightarrow 3 + {C_1} = 4 \Leftrightarrow {C_1} = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + 1{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{{x^3} + x + 2{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}x < 1}\end{array}} \right.\].

Vậy \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + \left( { - 1} \right) + 2 + 2 \cdot \left( {{2^2} + 2 \cdot 2 + 1} \right) = 18.\)

Đáp án: 18.

Câu 2

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'.\) Góc giữa hai đường thẳng AM và \(BC'\) bằng

A. \(45^\circ .\)

B. \(90^\circ .\)

C. \(30^\circ .\)

D. \(60^\circ .\)

Lời giải

Media VietJack

Giả sử cạnh của hình lập phương là \(a > 0.\)

Gọi \(N\) là trung điểm đoạn thẳng \(BB'.\)

Khi đó, \(MN\,{\rm{//}}\,BC'\) nên \(\left( {\widehat {AM\,;\,\,BC'}} \right) = (\widehat {AM\,;\,MN}).\)

Xét \(\Delta A'B'M\) vuông tại \(B'\), ta có

\(A'M = \sqrt {A'{{B'}^{\prime 2}} + B'{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)

Xét \(\Delta AA'M\) vuông tại \(A'\), ta có \(AM = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{5{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}.\)

Có \[AN = A'M = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\,;\,\,MN = \frac{{BC'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Trong tam giác \[AMN\] ta có

\(\cos \widehat {AMN} = \frac{{M{A^2} + M{N^2} - A{N^2}}}{{2MA \cdot MN}} = \frac{{\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4} - \frac{{5{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot \frac{{3a}}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{6{a^2}}}{4} \cdot \frac{4}{{6{a^2}\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

Suy ra \(\widehat {AMN} = 45^\circ .\) Vậy \[\left( {AM,\,\,BC'} \right) = \left( {AM,\,\,MN} \right) = \widehat {AMN} = 45^\circ .\] Chọn A.

Câu 3