Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\) và \(3x \cdot f\left( x \right) - {x^2} \cdot f'\left( x \right) = 2{f^2}\left( x \right)\), với \(f\left( x \right) \ne 0,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right).\) Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \[\left[ {1\,;\,\,2} \right].\] Tính \(M + m.\)

Ta có: \(3x \cdot f\left( x \right) - {x^2} \cdot f'\left( x \right) = 2{f^2}\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} \cdot f\left( x \right) - {x^3} \cdot f'\left( x \right) = 2x \cdot {f^2}\left( x \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3{x^2}f\left( x \right) - {x^3}f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^3}}}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = 2x\).

Khi đó \(\int {{{\left( {\frac{{{x^3}}}{{f\left( x \right)}}} \right)}^\prime }} {\rm{d}}x = \int 2 x\;{\rm{d}}x \Leftrightarrow \frac{{{x^3}}}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + C\).

Do \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{1 + C}} = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 2.\) Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2}}\).

Tìm được \(M = f\left( 2 \right) = \frac{4}{3},\,\,m = f\left( 1 \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow M + m = \frac{5}{3}.\)

Đáp án: \(\frac{5}{3}.\)