Trong không gian \[Oxyz,\] cho ba đường thẳng có phương trình lần lượt là \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}},\) \({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}.\) Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(d\) đồng thời cắt \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) tương ứng tại \[H,\,\,K\] sao cho độ dài \[HK\] nhỏ nhất. Biết rằng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\vec u\left( {h\,;\,\,k\,;\,\,1} \right).\) Giá trị \(h - k\) bằng

Ta có \(H \in {\Delta _1} \Leftrightarrow H\left( {3 + 2t\,;\,\,t\,;\,\,1 + t} \right)\) và \(K \in {\Delta _2} \Leftrightarrow K\left( {1 + m\,;\,\,2 + 2m\,;\,\,m} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {HK}  = \left( {m - 2t - 2\,;\,\,2m - t + 2\,;\,\,m - t - 1} \right).\)

Đường thẳng \(d\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right).\)

\(\Delta  \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_d}}  \cdot \overrightarrow {HK}  = 0 \Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \overrightarrow {HK}  = \left( { - t - 4\,;\,\,t - 2\,;\,\, - 3} \right){\rm{. }}\)

Ta có \(H{K^2} = {\left( { - t - 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27\,,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\).

Khi đó ta có \(H{K_{\min }} = \sqrt {27} \), đạt được khi \(t =  - 1.\)

Do đó \(\overrightarrow {HK}  = \left( { - 3\,;\,\, - 3\,;\,\, - 3} \right)\), suy ra \(\vec u\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.\)

Đáp án: 0.