Xét các số thực dương \[x,\,\,y\] thỏa mãn \(\frac{1}{2}{\log _2}\frac{x}{4} + {\log _2}y = \frac{{4 - x{y^2}}}{{{y^2}}}.\) Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị \(\frac{x}{y}\) bằng

Ta có \(F\left( x \right) = \int f \left( x \right){\rm{d}}x = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + {C_1}}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{{x^3} + x + {C_2}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\).

Theo bài ra, ta có \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\).

Hàm số \(F\left( x \right)\) liên tục nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right)\)

\[ \Leftrightarrow 3 + {C_1} = 4 \Leftrightarrow {C_1} = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + 1{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{{x^3} + x + 2{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}x < 1}\end{array}} \right.\].

Vậy \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + \left( { - 1} \right) + 2 + 2 \cdot \left( {{2^2} + 2 \cdot 2 + 1} \right) = 18.\)

Đáp án: 18.

Giả sử cạnh của hình lập phương là \(a > 0.\)

Gọi \(N\) là trung điểm đoạn thẳng \(BB'.\)

Khi đó, \(MN\,{\rm{//}}\,BC'\) nên \(\left( {\widehat {AM\,;\,\,BC'}} \right) = (\widehat {AM\,;\,MN}).\)

Xét \(\Delta A'B'M\) vuông tại \(B'\), ta có