Cho lăng trụ tam giác đều (ABC.A'B'C' ) có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi [M, , ,N ] lần lượt là hai điểm thuộc (A'C ) và (BC' ) sao cho [MN ] là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Tính tỉ...

Kết quả bài toán sẽ không thay đổi nếu ta xét lăng trụ đều (ABC.A'B'C' ) có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng 2. Chọn hệ trục tọa độ [Oxyz ] như hình vẽ (O ) là trung điểm của (BC). ) Ta có (A' left( {0 ,; , , - sqrt 3 ,; , ,2} right), , ,B left( {1 ,; , ,0 ,; , ,0} right), , ,C left( { - 1 ,; , ,0;0} right), , ,C' left( { - 1 ,; , ,0 ,; , ,2} right) ) Suy ra ( overrightarrow {CA'} = left( {1 ,; , , - sqrt 3 ,; , ,2} right), overrightarrow {BC'} = left( { - 2 ,; , ,0 ,; , ,2} right). ) Do ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{ overrightarrow {CM} = m overrightarrow {CA'} } { overrightarrow {BN} = n overrightarrow {BC'} } end{array}} right. ) nên ta có (M left( { - 1 + m ,; , , - sqrt 3 m ,; , ,2m} right),N left( {1 - 2n ,; , ,0 ,; , ,2n} right). ) Suy ra ( overrightarrow {MN} = left( { - m - 2n + 2 ,; , , sqrt 3 m ,; , ,2n - 2m} right). ) Đường thẳng [MN ] là đường vuông góc chung của (A'C ) và (BC' ) nên ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{ overrightarrow {MN} cdot overrightarrow {CA'} = 0} { overrightarrow {MN} cdot overrightarrow {BC'} = 0} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{ - 4m + 2n = - 1} { - m + 4n = 3} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{m = frac{2}{5}} {n = frac{3}{5}} end{array}} right.} right.} right. ) ( Rightarrow frac{{BN}}{{BC'}} = n = frac{3}{5} Rightarrow frac{{NB}}{{NC'}} = frac{3}{2}. ) Đáp án: [{ bf{1}},{ bf{5}} ].