Câu hỏi:

25/06/2024 10,114

Gọi \(g\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \ln \left( {x - 1} \right).\] Cho biết \(g\left( 2 \right) = 1\) và \(g\left( 3 \right) = a\ln b\) trong đó \[a,\,\,b\] là các số nguyên dương phân biệt. Giá trị của \(T = 3{a^2} - {b^2}\) là

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \ln \left( {x - 1} \right)}\\{{\rm{d}}v = {\rm{d}}x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = \frac{1}{{x - 1}}}\\{v = x - 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Ta có \[g\left( x \right) = \int {\ln } \left( {x - 1} \right){\rm{d}}x = \left( {x - 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - \int {\frac{{x - 1}}{{x - 1}}} \;{\rm{d}}x = \left( {x - 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - x + C\]

Do \(g\left( 2 \right) = 1 \Leftrightarrow 1 \cdot \ln 1 - 2 + C = 1 \Leftrightarrow C = 3 \Rightarrow g\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - x + 3\)

Suy ra \(g\left( 3 \right) = 2\ln 2 - 3 + 3 = 2\ln 2 = \ln 4 \Rightarrow a = 1\,,\,\,b = 4 \Rightarrow 3{a^2} - {b^2} =  - 13.\)  Chọn D.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Trên giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng \((P),\,\,(Q)\) ta lấy lần lượt 2 điểm \[A,\,\,B\] như sau:

• Lấy \(A\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,1} \right) \in \Delta \), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 0}\\{x + 2y = 0}\end{array} \Rightarrow x = y = 0 \Rightarrow A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)} \right..\)

• Lấy \(B\left( { - 1\,;\,\,y\,;\,\,z} \right) \in \Delta \), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y + z = 0}\\{2y + z = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2}\\{z =  - 2}\end{array} \Rightarrow B\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right)} \right.} \right..\)

Vì \(\Delta  \in (\alpha )\) nên \(A,\,\,B \in (\alpha ).\) Do đó, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + b = 0}\\{ - a + b - 6 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 8}\\{b =  - 2}\end{array}} \right.} \right..\)

Vậy \(a + 4b =  - 8 + 4 \cdot \left( { - 2} \right) =  - 16.\) Chọn A.

Câu 2

Lời giải

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 4m \cdot {x^3} + 16\left( {m - 6} \right)x \le 0\,;\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4x\left[ {m{x^2} + 4\left( {m - 6} \right)} \right] \le 0\,;\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m{x^2} + 4m - 24 \le 0 \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 4} \right) \le 24 \Leftrightarrow m \le \frac{{24}}{{{x^2} + 4}}\,;\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \le {\min _{\left[ {1\,;\,\,2} \right]}}\left( {\frac{{24}}{{{x^2} + 4}}} \right) = 3\).

Mà \(m \in \left( { - 10\,;\,\,10} \right)\) suy ra có tất cả \(3 - \left( { - 9} \right) + 1 = 13\) giá trị nguyên của \(m\) cần tìm.

Chọn D.

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP