Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \ln 2\,;\,\,\ln 2} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{{e^x} + 1}}.\)

Biết \(\int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {f\left( x \right)dx}  = a\ln 2 + b\ln 3\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{Q}} \right).\) Tính \(P = a + b\).

Gọi \(I = \int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {f\left( x \right)dx} .\) Đặt \(t =  - x \Rightarrow {\rm{d}}t =  - {\rm{d}}x.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \ln 2 \Rightarrow t = \ln 2\\x = \ln 2 \Rightarrow t =  - \ln 2.\end{array} \right.\)

Ta được \[I =  - \int\limits_{\ln 2}^{ - \ln 2} {f\left( { - t} \right)dt}  =  - \int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {f\left( { - t} \right)dt}  = \int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {f\left( { - x} \right)dx} .\]

Khi đó ta có: \[2I =  - \int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {f\left( x \right)dx} {\rm{  + }}\int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {f\left( { - x} \right)dx}  = \int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx}  = \int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {\frac{1}{{{e^x} + 1}}dx.} \]

Xét \(\int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {\frac{1}{{{e^x} + 1}}dx.} \) Đặt \(u = {e^x} \Rightarrow {\rm{d}}u = {e^x}\;{\rm{d}}x\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \ln 2 \Rightarrow u = \frac{1}{2}\\x = \ln 2 \Rightarrow u = 2\end{array} \right.\).

Ta được \(\int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {\frac{1}{{{e^x} + 1}}dx}  = \int\limits_{ - \ln 2}^{\ln 2} {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 1} \right)}}dx}  = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{u\left( {u + 1} \right)}}du} \)

\( = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{u} - \frac{1}{{u + 1}}} \right)du}  = \left. {\left( {\ln \left| u \right| - \ln \left| {u + 1} \right|} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \ln 2\).

Vậy ta có \(a = \frac{1}{2},\,\,b = 0 \Rightarrow a + b = \frac{1}{2}.\)

Đáp án: \(\frac{1}{2}.\)