Câu hỏi:
11/07/2024 80
Có tất cả bao nhiêu cặp số \((a\,;\,\,b)\) với \[a,\,\,b\] là các số nguyên dương thỏa mãn \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1.\)
Có tất cả bao nhiêu cặp số \((a\,;\,\,b)\) với \[a,\,\,b\] là các số nguyên dương thỏa mãn \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1.\)
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Với \[a,\,\,b\] nguyên dương, ta có: \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + {b^2} - ab}} + {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) + 3ab\left( {a + b} \right) + 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + {a^3} + {b^3} = {\log _3}\left[ {3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)} \right] + 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right).\,\,\,\,(1)\)
Xét \({\rm{f}}\left( {\rm{t}} \right) = {\log _3}t + t\) trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\,;\,\,{\rm{f'}}\left( {\rm{t}} \right) = \frac{1}{{{\rm{t}} \cdot \ln 3}} + 1 > 0\,,\,\,\forall {\rm{t}} > 0\)
\( \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{t}} \right)\) đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right).\)
Khi đó, phương trình \((1)\) trở thành: \({\rm{f}}\left( {{{\rm{a}}^3} + {{\rm{b}}^3}} \right) = {\rm{f}}\left[ {3\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {\rm{ab}}} \right)} \right]\) \( \Leftrightarrow {{\rm{a}}^3} + {{\rm{b}}^3} = 3\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {\rm{ab}}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)(a + b - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} - ab = 0\,\,\,(1)}\\{a + b - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - ab = {\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} > 0\,,\,\,\forall a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\). Do đó (1) vô nghiệm.
\((2) \Leftrightarrow a + b = 3.\) Mà \(a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 1}\end{array}\,;\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.} \right.\).
Đáp án: 2.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tổng \(S\) của các nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là
Xem đáp án »
27/06/2024
7,285
Câu 3:
Trung tâm A chứa tối đa mỗi phòng học là 200 em học sinh. Nếu một phòng học có x học sinh thì học phí cho mỗi học sinh là \({\left( {9 - \frac{x}{{40}}} \right)^2}\) (nghìn đồng). Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất là bao nhiêu nghìn đồng?
Trung tâm A chứa tối đa mỗi phòng học là 200 em học sinh. Nếu một phòng học có x học sinh thì học phí cho mỗi học sinh là \({\left( {9 - \frac{x}{{40}}} \right)^2}\) (nghìn đồng). Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất là bao nhiêu nghìn đồng?
Xem đáp án »
11/07/2024
1,149
Câu 4:
Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:
Rồi hóng mát thuở ngày trường,
Hoè lục đùn đùn tán rợp giương.
Thạch lựu hiên còn phun thức đỏ,
Hồng liên trì đã tiễn mùi hương.
Lao xao chợ cá làng ngư phủ,
Dắng dỏi cầm ve lầu tịch dương.
Dẽ có Ngu cầm đàn một tiếng,
Dân giàu đủ khắp đòi phương.
(Nguyễn Trãi, Cảnh ngày hè, Ngữ văn 10, tập 1, NXB Giáo dục)
Hiệu quả nghệ thuật của từ láy “lao xao”, “dắng dỏi” là gì?
Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:
Rồi hóng mát thuở ngày trường,
Hoè lục đùn đùn tán rợp giương.
Thạch lựu hiên còn phun thức đỏ,
Hồng liên trì đã tiễn mùi hương.
Lao xao chợ cá làng ngư phủ,
Dắng dỏi cầm ve lầu tịch dương.
Dẽ có Ngu cầm đàn một tiếng,
Dân giàu đủ khắp đòi phương.
(Nguyễn Trãi, Cảnh ngày hè, Ngữ văn 10, tập 1, NXB Giáo dục)
Hiệu quả nghệ thuật của từ láy “lao xao”, “dắng dỏi” là gì?
Xem đáp án »
25/07/2024
725
Câu 6:
PHẦN 2: TƯ DUY ĐỊNH TÍNH
Lĩnh vực: Ngữ văn (50 câu – 60 phút)
Xác định thao tác lập luận chính trong đoạn văn?
PHẦN 2: TƯ DUY ĐỊNH TÍNH
Lĩnh vực: Ngữ văn (50 câu – 60 phút)
Xác định thao tác lập luận chính trong đoạn văn?
Xem đáp án »
25/07/2024
480
Câu 7:
Cho biểu đồ:
TRANG TRẠI PHÂN THEO LĨNH VỰC HOẠT ĐỘNG NƯỚC TA NĂM 2011 VÀ 2021
(Nguồn: gso.gov.vn)
Biểu đồ trên thể hiện nội dung nào sau đây?
Cho biểu đồ:
TRANG TRẠI PHÂN THEO LĨNH VỰC HOẠT ĐỘNG NƯỚC TA NĂM 2011 VÀ 2021
(Nguồn: gso.gov.vn)
Biểu đồ trên thể hiện nội dung nào sau đây?
Xem đáp án »
25/07/2024
476
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 5)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 4)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
về câu hỏi!