Hoàn thành câu hỏi bằng cách chọn đáp án Đúng hoặc Sai.

Những tấm bản đồ của cuộc đời chỉ dẫn người ta đi theo những con đường khác nhau. Nếu tấm bản đồ chỉ dẫn nhấn mạnh rằng: “Cuộc sống chỉ toàn những chuỗi lo âu, đau khổ, còn niềm vui lại hiếm hoi và dễ dàng vụt mất như cánh chim trời” thì tấm bản đồ định hướng cho rằng: “Cuộc sống là một món quà quý mà chúng ta phải trân trọng”. 

Đúng hay sai?

Phương pháp giải

Dạng vô định ∞ - ∞

Lời giải

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{{x^3} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 2)}} = L,\) với \(L \in \mathbb{R}\)(*)

Khi đó \(\sqrt {a + 1}  - b - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {a + 1}  = b + 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b \ge  - 2}\\{a + 1 = {b^2} + 4b + 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b \ge  - 2}\\{a = {b^2} + 4b + 3}\end{array}} \right.\)

Thay  \(a = {b^2} + 4b + 3\) vào (*):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{{x^3} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1}  - bx - 2}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 2)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1 - {{(bx + 2)}^2}}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 2)\left[ {\sqrt {\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1}  + bx + 2} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(4b + 3){x^2} - 4bx - 3}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 2)\left[ {\sqrt {\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1}  + bx + 2} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(4b + 3)x + 3}}{{(x - 1)(x + 2)\left[ {\sqrt {\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1}  + bx + 2} \right]}} = L,\,\,L \in \mathbb{R}\)

Khi đó: \((4b + 3) + 3 = 0 \Leftrightarrow b =  - \frac{3}{2} \Rightarrow a =  - \frac{3}{4}.\)

Vậy \({a^2} + {b^2} = \frac{{45}}{{16}}\)

Đáp án: “28”

Phương pháp giải

Vì S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A

Lời giải

Vì S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A nên ta tính số phần tử thuộc tập Snhư sau:

+ Số các số thuộc S có 3 chữ số là \(A_5^3\).

+ Số các số thuộc S có 4 chữ số là \(A_5^4\).

+ Số các số thuộc S có 5 chữ số là \(A_5^5\).

Suy ra số phần tử của tập S là \(A_5^3 + A_5^4 + A_5^5 = 300.\)

Số phần tử của không gian mẫu là \({n_\Omega } = C_{300}^1 = 300\)

Gọi X là biến cố “Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10”. Các tập con của A có tổng số phần tử bằng 10 là A1 = {1;2;3;4}, A2 = {2;3;5}, A3 = {1;4;5}.

+ Từ A1 lập được các số thuộc S là 4!.

+ Từ A2 lập được các số thuộc S là 3!.

+ Từ A3 lập được các số thuộc S là 3!.

Suy ra số phần tử của biến cố X là nX = 4! + 3! + 3! = 36.

Vậy xác suất cần tính \(P(X) = \frac{{{n_X}}}{{{n_\Omega }}} = \frac{{36}}{{300}} = \frac{3}{{25}}.\)