Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 4)

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa về tính chẵn lẻ của 1 hàm số

Tính f(-x), g(-x), h(-x) và kết luận

Đại cương về hàm số

Lời giải

Xét hàm số f(x)

Ta có \(f( - x) = \frac{{| - x - 1| - | - x + 1|}}{x} = \frac{{|x + 1| - |x - 1|}}{x}\)

\( = \frac{{|x - 1| - |x + 1|}}{{ - x}} = f(x)\)

⇒ f là hàm số chẵn

Xét hàm số g(x)

\(\begin{array}{l}g( - x) = {( - x)^2}(| - x + 1| - | - x - 1|)\\ = {x^2}(|x - 1| - |x + 1|)\\ =  - {x^2}(|x + 1| - |x - 1|)\\ =  - g(x)\end{array}\)

⇒ g là hàm số lẻ

Xét hàm số h(x)

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{h( - x) = {{( - x)}^3} + x + 1 =  - {x^3} + x + 1}\\{ - h(x) =  - {x^3} + x - 1}\end{array}} \right\} \Rightarrow \) h là hàm số không chẵn không lẻ

Chọn C

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm khoảng đồng biến của hàm số đã cho bằng cách sử dụng kiến thức: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c(a > 0)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\).

Bước 2: Tìm \(m\) bằng cách sử dụng kiến thức: Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((3; + \infty )\) thì \((3; + \infty ) \subset \left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\). Tức là, \( - \frac{b}{{2a}} \le 3\).

Bước 3: Kết luận.

Lời giải

Ta có \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{2m}}{{2.2}} =  - \frac{m}{2}\).

Suy ra hàm số \(y = 2{x^2} + 2mx - 2m + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{m}{2}; + \infty } \right)\).

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((3; + \infty )\) khi và chỉ khi \((3; + \infty ) \subset \left( { - \frac{m}{2}; + \infty } \right)\).

Tức là, \( - \frac{m}{2} \le 3\).

\( \Leftrightarrow m \ge  - 6.{\rm{ }}\)

Vậy \(m \in [ - 6; + \infty )\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Phương pháp giải

Tìm ĐKXĐ của biểu thức chứa dấu căn bậc 2

Giải bất phương trình trên tập \(\forall x \in R\) và biện luận giá trị của m

Lời giải

\({f_{(x)}}\) xác định \(\forall x \in R \Leftrightarrow (m + 4){x^2} - (m - 4)x - 2m + 1 \ge 0\forall x \in R\)

Đặt \({g_{(x)}} = (m + 4){x^2} - (m - 4)x - 2m + 1\)

Xét \(m =  - 4:{g_{(x)}} = 8x + 9 \le 0 \Leftrightarrow x \le \frac{{ - 9}}{8}\) (loại)

Xét \(m \ne  - 4:{g_{(x)}} \ge 0\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 4}\\{{{(m - 4)}^2} - 4(m + 4)( - 2m + 1) \le 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - 4}\\{9{m^2} + 20m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - 4}\\{\frac{{ - 20}}{9} \le m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \frac{{ - 20}}{9} \le m \le 0} \right.} \right.\)

Mà \(m\) nguyên âm \( \Rightarrow m \in \{  - 2; - 1\}  \Rightarrow \) Có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn

Chọn B

Phương pháp giải

Lời giải

TH 1: \(m = 0:f(x) = 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

TH 2: Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\Delta ^\prime } < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{{m^2} - 4m < 0}\end{array} \Leftrightarrow m \in (0;4)} \right.} \right.\).

Vậy \(m \in [0;4)\).

⇒ Chọn đáp án D

Phương pháp giải

Dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Đặt \(M = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 16}}\).

Ta có:

+) \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\)

+) \({x^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x =  - 4}\end{array}} \right.\)

Bảng xét dấu biểu thức M:

Phương pháp giải

- Biết đổi phương trình để cô lập m có dạng m = g(x)

- Khảo sát và vẽ bảng biến thiên g(x)

- Quan sát bảng biến thiên g(x)để chọn mthỏa mãn

Phương trình chứa căn cơ bản

Lời giải

Ta có \(\sqrt {{x^2} - 2x + m}  = 2x + 1\)

Điều kiện \({x^2} - 2x + m \ge 0 \Rightarrow m \ge 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow m = 3{x^2} + 6x + 1\end{array}\)

Đặt \(g(x) = 3{x^2} + 6x + 1 \Rightarrow g'(x) = 6x + 6\)

\(g'(x) = 0 \Rightarrow x =  - 1\)

Ta có bảng biến thiên g(x)

Phương pháp giải

- Tính u1; u2;... rồi đoán quy luật của dãy số.

Lời giải

u1 = 1

u2 = 2.1 + 3 = 5 = 23 − 3

u3 = 2.5 + 3 = 13 = 24 − 3

u4 = 2.13 + 3 = 29 = 25 − 3

...

un = 2n+1 − 3