Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48;80;112;144;…(các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).

Khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

	ĐÚNG	SAI
Công sai của cấp số cộng trên là d = 30	¡	¡
Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1060 feet	¡	¡

Đáp án: “28”

Phương pháp giải

Vì S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A

Lời giải

Vì S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A nên ta tính số phần tử thuộc tập Snhư sau:

+ Số các số thuộc S có 3 chữ số là \(A_5^3\).

+ Số các số thuộc S có 4 chữ số là \(A_5^4\).

+ Số các số thuộc S có 5 chữ số là \(A_5^5\).

Suy ra số phần tử của tập S là \(A_5^3 + A_5^4 + A_5^5 = 300.\)

Số phần tử của không gian mẫu là \({n_\Omega } = C_{300}^1 = 300\)

Gọi X là biến cố “Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10”. Các tập con của A có tổng số phần tử bằng 10 là A1 = {1;2;3;4}, A2 = {2;3;5}, A3 = {1;4;5}.

+ Từ A1 lập được các số thuộc S là 4!.

+ Từ A2 lập được các số thuộc S là 3!.

+ Từ A3 lập được các số thuộc S là 3!.

Suy ra số phần tử của biến cố X là nX = 4! + 3! + 3! = 36.

Vậy xác suất cần tính \(P(X) = \frac{{{n_X}}}{{{n_\Omega }}} = \frac{{36}}{{300}} = \frac{3}{{25}}.\)

Phương pháp giải

Dạng vô định ∞ - ∞

Lời giải

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{{x^3} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 2)}} = L,\) với \(L \in \mathbb{R}\)(*)

Khi đó \(\sqrt {a + 1}  - b - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {a + 1}  = b + 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b \ge  - 2}\\{a + 1 = {b^2} + 4b + 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b \ge  - 2}\\{a = {b^2} + 4b + 3}\end{array}} \right.\)

Thay  \(a = {b^2} + 4b + 3\) vào (*):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{{x^3} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1}  - bx - 2}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 2)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1 - {{(bx + 2)}^2}}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 2)\left[ {\sqrt {\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1}  + bx + 2} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(4b + 3){x^2} - 4bx - 3}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 2)\left[ {\sqrt {\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1}  + bx + 2} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(4b + 3)x + 3}}{{(x - 1)(x + 2)\left[ {\sqrt {\left( {{b^2} + 4b + 3} \right){x^2} + 1}  + bx + 2} \right]}} = L,\,\,L \in \mathbb{R}\)

Khi đó: \((4b + 3) + 3 = 0 \Leftrightarrow b =  - \frac{3}{2} \Rightarrow a =  - \frac{3}{4}.\)

Vậy \({a^2} + {b^2} = \frac{{45}}{{16}}\)