Tìm: a) ∫x2x−32dx; b) ∫sin2x2dx; c) ∫tan2xdx; d) ∫23x.3xdx.

Câu hỏi:

13/07/2024 3,256

Tìm:

a) $\int x {(2 x - 3)}^{2} d x$ ; b) $\int \sin^{2} \frac{x}{2} d x$ ;

c) $\int \tan^{2} x d x$ ; d) $\int 2^{3 x} {.3}^{x} d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Nguyên hàm có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx} $$ = \int {x\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)dx} $$ = \int {\left( {4{x^3} - 12{x^2} + 9x} \right)dx} $

$ = {x^4} - 4{x^3} + \frac{9}{2}{x^2} + C$.

b) $\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} $$ = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} $$ = \frac{1}{2}\int {dx} - \frac{1}{2}\int {\cos xdx} $$ = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x + C$.

c) $\int {{{\tan }^2}xdx} $$ = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} $$ = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {dx} $$ = \tan x - x + C$.

d) $\int {{2^{3x}}{{.3}^x}dx} $$ = \int {{8^x}{{.3}^x}dx} $$ = \int {{{24}^x}dx} $$ = \frac{{{{24}^x}}}{{\ln 24}} + C$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{'} (x) = \frac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Xem đáp án

Lời giải

a) Chiều cao của cây sau x năm là:

$h\left( x \right) = \int {h'\left( x \right)dx = \int {\frac{1}{x}} } dx = \ln x + C$ (1 ≤ x ≤ 11).

Có h(1) = 2 nên ln1 + C = 2 Þ C = 2.

Do đó $h\left( x \right) = \ln x + 2,\;\left( {1 \le x \le 11} \right)$.

b) Cây cao 3 m tức là $\ln x + 2 = 3$$ \Leftrightarrow \ln x = 1$$ \Leftrightarrow x = e \approx 2,72$.

Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m.

Câu 2

Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc v₀ = 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 2 m/s². Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Xem đáp án

Lời giải

Kí hiệu v(t) là tốc độ của xe, s(t) là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi xe tăng tốc.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {2dt = 2t + C} } $.

Mà v(0) = 10 nên C = 10.

Do đó v(t) = 2t + 10.

Có $s\left( t \right) = \int {\left( {2t + 10} \right)dt} = {t^2} + 10t + C$.

Vì s(0) = 0 Þ C = 0.

Do đó s(t) = t² + 10t.

Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

s(3) = 3² + 10.3 = 39 (m).

Câu 3