Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Nguyên hàm có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {10dt = 10t + C} } \).

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s).

Vì v(t) = s'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {10tdt} = 5{t^2} + C\).

Ta có s(0) = 0 nên C = 0. Vậy s(t) = 5t² (m).

Vật rơi từ độ cao 20 m nên s(t) ≤ 20, suy ra 0 ≤ t ≤ 2.

Vậy sau khi vật rơi được t giây (0 ≤ t ≤ 2) thì vật có tốc độ v(t) = 10t m/s và đi được quãng đường s(t) = 5t² mét.

Ta có F(x) = x² vì (x²)' = 2x.

a) Ta có F'(x) = (x³)' = 3x² = f(x).

Do đó F(x) = x³ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Có H(x) = F(x) + C = x³ + C.

Có H'(x) = (x³ + C)' = 3x² = f(x).

Do đó hàm số H(x) = F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

c) Có (G(x) – F(x))' = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0.

Vì (G(x) – F(x))' = 0 nên G(x) – F(x) là một hằng số.

Hay G(x) = F(x) + C, C là hằng số bất kì.

Có F'(x) = (e^{2x + 1})' = e^{2x + 1}.(2x + 1)' = 2e^{2x + 1} = f(x).

Vậy F(x) = e^{2x + 1} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e^{2x + 1} trên ℝ.

a) Vì (C)' = 0 nên \(\int {0dx = C} \).

Vì (x + C)' = 1 nên \(\int {1dx = x + C} \).

b) Có \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)^\prime }\)\( = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\).

Do đó \(\int {{x^\alpha }} dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C,\left( {\alpha \ne - 1} \right)\).

a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).

b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \)\( = \int {{x^{ - 3}}dx = - \frac{1}{2}} {x^{ - 2}} + C = \frac{{ - 1}}{{2{x^2}}} + C\).

c) \(\int {\sqrt x dx} \)\( = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \)\( = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\).

a) Với x > 0 thì F(x) = lnx Þ F'(x) = \(\frac{1}{x}\).

Với x < 0 thì F(x) = ln(−x) \( \Rightarrow F'\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - x} \right)}^\prime }}}{{ - x}} = \frac{1}{x}\).

Vậy \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x},x \ne 0\).

b) Có \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C\).