Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án

a) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = −1.

b) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2.

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm (0; 2) và (2; 0).

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0.a + b = 2\\2a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = −x + 2.

d) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận xiên.

Đường tiệm cận xiên thứ nhất y = a1x + b1 đi qua hai điểm có tọa độ (0; −3) và (4; 0).

Giải hệ phương trình, ta được: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_1}.0 + {b_1} =  - 3\\{a_1}.4 + {b_1} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = \frac{3}{4}\\{b_1} =  - 3\end{array} \right.\\\end{array}\).

Do đó, đường tiệm cận xiên thứ nhất là y = \(\frac{3}{4}x - 3.\)

Đường tiệm cận xiên thứ hai y = a2x + b2 đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (4; 0).

Giải hệ phương trình, ta được: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_2}.0 + {b_2} = 3\\{a_2}.4 + {b_2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} =  - \frac{3}{4}\\{b_1} = 3\end{array} \right.\\\end{array}\).

Do đó, đường tiệm cận xiên thứ hai là: y = \( - \frac{3}{4}x + 3.\)

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{x - 5}}{{2x + 1}} =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{x - 5}}{{2x + 1}} =  + \infty \).

Do đó, đường thẳng x = \( - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

              \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 5}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 5}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\).

Do đó, đường thẳng y = \(\frac{1}{2}\) là tiệm ngang của đồ thị hàm số.

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x}}{{x - 3}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

              \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x}}{{x - 3}} = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x}}{{x - 3}} = 2\).

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{2}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{2}{3}}^ + }} \left( { - \frac{6}{{3x + 2}}} \right) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{2}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{2}{3}}^ - }} \left( { - \frac{6}{{3x + 2}}} \right) =  + \infty \).

Do đó, đường thẳng x = \( - \frac{2}{3}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

               \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \frac{6}{{3x + 2}}} \right) = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{6}{{3x + 2}}} \right) = 0\).

Do đó, đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

a) \(y = 2x + 1 + \frac{1}{{x - 3}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 1 + \frac{1}{{x - 3}}} \right) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x + 1 + \frac{1}{{x - 3}}} \right) =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x - 3}} = 0\).

Do đó, đường thẳng y = 2x + 1laf tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Ta có: \(y = \frac{{ - 3{x^2} + 16x - 3}}{{x - 5}}\) = −3x + 1 + \(\frac{2}{{x - 5}}\).

             \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \left( { - 3x + 1 + \frac{2}{{x - 5}}} \right) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( { - 3x + 1 + \frac{2}{{x - 5}}} \right) =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

             \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( { - 3x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{2}{{x - 5}} = 0\).

Do đó, đường thẳng y = −3x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Ta có: \(y = \frac{{ - 6{x^2} + 7x + 1}}{{3x + 1}}\) = −2x + 3 – \(\frac{2}{{3x + 1}}\)

              \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{3}}^ + }} \left( { - 2x + 3 - \frac{2}{{3x + 1}}} \right) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{3}}^ - }} \left( { - 2x + 3 - \frac{2}{{3x + 1}}} \right) =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = \( - \frac{1}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

              \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( { - 2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{ - 2}}{{3x + 1}} = 0\).

Do đó, đường thẳng y = −2x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

               \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} =  + \infty \).

Do đó, đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

               \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 1\).

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( { - x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16}  + x} \right] = 0\).

Do đó, đường thẳng y = −x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

                \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16}  - x} \right] = 0\).

Do đó, đường thẳng y = x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

a) Ta có: C(95) = \(\frac{{2000.95}}{{100 - 95}} = 38000\) tỉ đồng.

               C(96) = \(\frac{{2000.96}}{{100 - 96}} = 48000\) tỉ đồng.

               C(97) = \(\frac{{2000.97}}{{100 - 97}} = \frac{{194000}}{3}\) tỉ đồng.

               C(98) = \(\frac{{2000.98}}{{100 - 98}} = 96000\)tỉ đồng.

               C(99) =  \(\frac{{2000.99}}{{100 - 99}} = 198000\) tỉ đồng.

b) Ta có: C(p) = \(\frac{{2000p}}{{100 - p}}\)

             \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ + }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ + }} \frac{{2000p}}{{100 - p}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{2000p}}{{100 - p}} =  - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng p = 100.

a) Ta có: \(\overline C (x) = \frac{{50000000 + 10000x}}{x} = \frac{{50000000}}{x} + 10000\).

b) Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{50000000}}{x} + 10000} \right) =  + \infty \);  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{50000000}}{x} + 10000} \right) =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{50000000}}{x} + 10000} \right) = 10000\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{50000000}}{x} + 10000} \right) = 10000\)

Do đó, đường thẳng y = 10 000 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.